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Thäter, Markus:
Globale Eigenschaften von differenzierbaren Kurven.
2012
. - 60 S.
(
Bachelorarbeit,
2013
, Universität Bayreuth, Fakultät für Mathematik, Physik und Informatik, Lehrstuhl Mathematik VIII)
Abstract
Ziel dieser Arbeit ist die Betrachtung von Kurven in reellen Vektorräumen. Kurven sind anschaulich betrachtet "Linien" oder "fadenartige" Gebilde, die sich im Raum befinden.
Dies ist in zwei- oder dreidimensionalen Räumen noch sehr anschaulich und im allgemeinen verständlich.
Insbesondere sollen glatte, also differenzierbare, Kurven betrachtet werden. Dies bedeutet, dass die Kurven keinen "Knick" besitzen dürfen, da an "Knickstellen" die Differenzierbarkeit nicht gegeben ist.
Es ist sich also vorzustellen, dass man einen Faden so auf den Boden legt, dass er überall "schöne Rundungen" aufweißt.
Im dreidimensionalen Raum kann man sich zum Beispiel ein Gebilde aus dem Spiel "Der heiße Draht" vorstellen, wobei es aber auch erlaubt ist, dass der Draht keinen "Anfang" und
kein "Ende" hat, also die abzufahrende Bahn geschlossen oder unendlich lang ist.
Neben dem Vierscheitelsatz werden auch die isoperimetrische Ungleichung und die Crofton Formel bewiesen. Anhand des Hauptsatzes der Raumkurventheorie wird das Verhalten von Kurven mit konstanter Krümmung in geradzahligen und ungeradzahligen Raumdimensionen betrachtet.