Zur Moritheorie auf Kählerdreifaltigkeiten mit höchstens terminalen Singularitäten

Titelangaben

Kronenthaler, Wolfgang:
Zur Moritheorie auf Kählerdreifaltigkeiten mit höchstens terminalen Singularitäten.
Bayreuth , 2005
( Dissertation, 2005 , Universität Bayreuth, Fakultät für Mathematik, Physik und Informatik)

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Abstract

In den späten Neunzigern beginnen F. Campana und Th. Peternell mit der Entwicklung eines Analogons zur Moritheorie projektiver Varietäten für glatte kompakte Kählerdreifaltigkeiten. Dabei zeigen sie unter anderem die Existenz spezieller Kontraktionsabbildungen mit Hilfe von nicht-spaltenden Familien rationaler Kurven, die als Pendant zu den extremalen Kontraktionen der Moritheorie gedacht sind. Beabsichtigt man mit Hilfe dieser Kontraktionsabbildungen ein "minimales Modell-Programm" für kompakte Kählerdreifaltigkeiten zu implementieren, so benötigt man die Existenz solcher Abbildungen auch für Kählerdreifaltigkeiten mit höchstens terminalen Singularitäten. Die Realisierung dieser Verallgemeinerung, aufbauend auf den Techniken aus den Arbeiten der genannten Autoren (wobei die Kontraktion auf eine Kurve nur für Gorenstein-Kählerdreifaltigkeiten nachgewiesen wird), ist genau der Inhalt dieser Arbeit. Den Gegenstand der Untersuchungen dieser Arbeit bilden also Q-faktorielle (nicht-projektive) kompakte Kählerdreifaltigkeiten X mit höchstens terminalen Singularitäten. Unterstellt wird jeweils die Existenz einer nicht-spaltenden Familie (C_t) rationaler Kurven mit dim T >= 1 und (-K_X.C_t ) > 0. Ist die Familie (C_t) überdeckend, hat man F. Campanas geometrischen Quotienten zur Verfügung. Mit dessen Hilfe weist man nach: Satz 1: Sei X eine Q-faktorielle kompakte Kählerdreifaltigkeit mit höchstens terminalen Singularitäten und (C_t) eine überdeckende nicht-spaltende Familie rationaler Kurven. Dann ist X projektiv, es sei denn, es handelt sich um ein P_1-Bündel über einer nicht-projektiven glatten kompakten Kählerfläche mit den Kurven C_t als Fasern. Ist die Familie (C_t) nicht überdeckend und füllt stattdessen nur einen irreduziblen reduzierten Divisor S aus, unterscheidet man danach, ob ein Punkt x_0 in S existiert, durch den alle Kurven einer 1-dimensionalen (Teil-)Familie verlaufen oder nicht. Existiert solch ein Punkt x_0, gilt es, die Fläche S durch Anwendung des Grauertschen Kontraktionssatzes auf einen Punkt in einer Q-faktoriellen Cohen-Macaulayvarietät Y mit höchstens terminalen Singularitäten zu kontrahieren. Man erhält als Ergebnis: Satz 2: Sei X eine Q-faktorielle nicht-projektive kompakte Kählerdreifaltigkeit mit höchstens terminalen Singularitäten und (C_t) eine nicht-spaltende Familie rationaler Kurven mit der Eigenschaft (-K_X.C_t) > 0. Die Familie (C_t) sei entweder 1-dimensional und es gebe einen Punkt x_0 in X, durch den alle Kurven der Familie (C_t) verlaufen, oder 2-dimensional, aber überdecke die Dreifaltigkeit X nicht. Bezeichnet S diejenige (irreduzible reduzierte) Fläche in X, die von den Kurven der Familie (C_t) ausgefüllt wird, so existieren eine kompakte Q-faktorielle Cohen-Macaulayvarietät Y mit höchstens terminalen Singularitäten und eine holomorphe Abbildung f: X -> Y, sodass gilt: 1.) f(S) = pt; 2.) Die eingeschränkte Abbildung f: X-S -> Y-{pt} ist biholomorph. Existiert kein Punkt x_0 wie oben beschrieben, unterscheidet man weiter, ob "(S.C_t) < 0" oder "(S.C_t) >= 0" gilt. Im erstgenannten Fall setzt man sich die Kontraktion auf eine Kurve (wieder in einer Q-faktoriellen Cohen-Macaulayvarietät Y mit höchstens terminalen Singularitäten) zur Aufgabe. Im zweitgenannten Fall findet man entweder eine divisorielle Kontraktion auf einen Punkt oder eine Kurve mit Hilfe einer alternativen nicht-spaltenden Familie rationaler Kurven (C'_t) oder X besitzt die Struktur eines Konikbündels über einer normalen Fläche W. Aus technischen Gründen beschränke ich mich auf den Gorensteinfall: Satz 3: Sei X eine Q-faktorielle nicht-projektive kompakte Gorenstein-Kählerdreifaltigkeit mit höchstens terminalen Singularitäten und (C_t) eine 1-dimensionale nicht-spaltende Familie rationaler Kurven mit der Eigenschaft (-K_X.C_t) > 0. Die Familie (C_t) sei maximal, d.h. T sei eine (irreduzible) Komponente im Douadyraum von X, und es gebe keinen Punkt x in X, durch den alle Kurven der Familie (C_t) verlaufen. Es bezeichne S diejenige (irreduzible reduzierte) Fläche in X, die von den Kurven der Familie (C_t) ausgefüllt wird. I) Ist (S.C_t) < 0, so gilt: 1. S ist isomorph zu einer P_1-Faserung über einer eventuell singulären Kurve B mit den Kurven C_t als Fasern (mengentheoretisch) und (S.C_t) = -1; 2. Es existieren eine kompakte Q-faktorielle Gorensteinvarietät Y mit höchstens terminalen Singularitäten und eine holomorphe Abbildung f: X -> Y, sodass gilt: a) f(S) = B; b) Die eingeschränkte Abbildung f: X-S -> Y-B ist biholomorph. II) Ist (S.C_t) >= 0, so existiert entweder eine divisorielle Kontraktion auf eine kompakte Q-faktorielle Cohen-Macaulayvarietät \tilde{X} mit höchstens terminalen Singularitäten oder X besitzt die Struktur eines Konikbündels über einer normalen Fläche W.

Abstract in weiterer Sprache

In the late nineties F. Campana and Th. Peternell start to develop an analogue to Mori theory for smooth compact Kähler threefolds. They prove (among other things) the existence of special contractions by means of non-splitting families of rational curves (C_t) with intersection number (-K_X.C_t) > 0. These contractions are intended to play the role of the extremal contractions in Mori theory. In order to extend the minimal model program of projective threefolds to compact Kähler threefolds, the existence of the mentioned contractions is needed as well in the case of Q-factorial compact Kähler threefolds with at most terminal singularities. This generalization is realized within the scope of this work using the techniques introduced in the cited authors' papers (whereat the contraction to a curve is constructed only under the additional assumption "X being Gorenstein"). From now on let X be a Q-factorial compact Kähler threefold with at most terminal singularities and (C_t) a non-splitting family of rational curves with dim T >= 1 and (-K_X.C_t) > 0. The candidate for the contractible (sub)space (of X) is the (sub)variety, swept out by the curves of the family (C_t). Hence we have to distinguish essentially two cases according to whether the family (C_t) covers the whole of X or not. If (C_t) is a covering family of rational curves, we have F. Campana's geometric quotient determined by (C_t) at our disposal. Using this quotient we show: Theorem 1: Let X be a Q-factorial compact Kähler threefold with at most terminal singularities and (C_t) a covering non-splitting family of rational curves. Then X is projective unless X is a P_1-bundle over a non-projective smooth compact Kähler surface with the curves C_t as fibres. If the given family (C_t) is non-covering and instead cutting out an irreducible reduced surface S, we have to distinguish, if there exists a point x_0 in S such that all the curves of an 1-dimensional (sub)family meet x_0 or not. If such a point exists, we aim to contract S to a point in a Q-factorial Cohen-Macaulay variety Y with at most terminal singularities using Grauert's contraction theorem. The essential hurdle that is to overcome is to exclude the eventuality "(S.C_t) = 0". This can be done using A. Fujiki's bimeromorphic classification of compact Kähler threefolds in class \mathfrak{C}: Theorem 2: Let X be a Q-factorial non-projective compact Kähler threefold with at most terminal singularities and (C_t) a non-splitting family of rational curves with (-K_X.C_t) > 0. Suppose the family (C_t) either to be 1-dimensional with all the curves C_t going through one point, or to be 2-dimensional, but not covering the threefold X. Let S be the (irreducible reduced) surface, cut out by the curves of the family (C_t). Then there exists a Q-factorial compact Cohen-Macaulay variety Y with at most terminal singularities and a holomorphic map f: X -> Y, such that the following holds: 1) f(S) = pt; 2) The restricted map f: X-S -> Y-{pt} is biholomorphic. If there exists no point x_0 as described above, we have to distinguish further, if "(S.C_t) < 0" or "(S.C_t) >= 0" holds. In the first case we aim to contract S to a curve (again in a Q-factorial Cohen-Macaulay variety Y with at most terminal singularities). In the second case we either find a divisorial contraction to a point or a curve by means of an alternative family (C'_t) or X has the structure of a conic bundle over a normal surface. For technical reasons we have to restrict ourselves to the Gorenstein case: Theorem 3: Let X be a Q-factorial non-projective compact Gorenstein Kähler threefold with at most terminal singularities and (C_t) a non-splitting family of rational curves with (-K_X.C_t) > 0. Suppose the family (C_t) to be 1-dimensional with all the curves C_t not going through a single point. Furthermore suppose the family (C_t) to be maximal, i.e., T to be a component of the Douady space of X. As before let S be the (irreducible reduced) surface, cut out by the curves of the family (C_t). I) If we have (S.C_t) < 0, the following holds: 1. S is isomorphic to a P_1-fibration over a possibly singular curve B with the curves C_t as fibres (set-theoretically) and (S.C_t) = -1. 2. There exists a Q-factorial compact Gorenstein threefold Y with at most terminal singularities and an holomorphic map f: X -> Y such that: a) f(S) = B; b) The restricted map f: X-S -> Y-B is biholomorphic. II) If we have (S.C_t) >= 0, there exists either a divisorial contraction to a Q-factorial compact Cohen-Macaulay variety \tilde{X} with at most terminal singularities or X has the structure of a conic bundle over a normal variety W.