Computing canonical heights on Jacobians

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Müller, Jan Steffen:
Computing canonical heights on Jacobians.
Bayreuth , 2010
( Dissertation, 2010 , Universität Bayreuth, Fakultät für Mathematik, Physik und Informatik)

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Abstract

The canonical height is an indispensable tool for the study of the arithmetic of abelian varieties. In this dissertation we investigate methods for the explicit computation of canonical heights on Jacobians of smooth projective curves. Building on an existing algorithm due to Flynn and Smart with modifications by Stoll we generalize efficient methods for the computation of canonical heights on elliptic curves to the case of Jacobian surfaces. The main tools are the explicit theory of the Kummer surface associated to a Jacobian surface, which we develop in full generality, building on earlier work due to Flynn, and a careful study of the local Néron models of the Jacobian. As a first step for a further generalization to Jacobian threefolds of hyperelliptic curves, we completely describe the associated Kummer threefold and conjecture formulas for explicit arithmetic on it, based on experimental data. Assuming the validity of this conjecture, many of the results for Jacobian surfaces can then be generalized. Finally, we use a theorem due to Faltings, Gross and Hriljac which expresses the canonical height on the Jacobian in terms of arithmetic intersection theory on the curve to develop an algorithm for the computation of the canonical height which is applicable in principle to any Jacobian. However, it uses several subroutines and some of these are currently only implemented in the hyperelliptic case, although the theory is available in general. Among the possible applications of the computation of canonical heights are the determination of generators for the Mordell-Weil group of the Jacobian and the computation of its regulator, appearing for instance in the famous Birch and Swinnerton-Dyer conjecture. We illustrate our algorithm with two examples: The regulator of a finite index subgroup of the Mordell-Weil group of the Jacobian of a genus 3 hyperelliptic curve and the non-archimedean part of theregulator computation for the Jacobian of a non-hyperelliptic genus 4 curve, where the remaining computations can be done immediately once the above-mentioned implementations are available.

Abstract in weiterer Sprache

Die kanonische Höhe ist ein unentbehrliches Hilfsmittel zur Untersuchung der Arithmetik abelscher Varietäten. In dieser Dissertation untersuchen wir Methoden zur expliziten Berechnung der kanonischen Höhe auf Jacobischen Varietäten glatter projektiver Kurven. Ausgehend von einem vorhanden Algorithmus von Flynn, Smart und Stoll verallgemeinern wir effiziente Berechnungsmethoden für kanonische Höhen auf elliptischen Kurven auf den Fall Jacobischer Flächen. Hierbei verwenden wir hauptsächlich die explizite Theorie der Kummerschen Fläche, die der Jacobischen zugeordnet ist und die wir, ausgehend von Arbeiten von Flynn, in voller Allgemeinheit entwickeln, sowie detaillierte Untersuchungen der lokalen Néron-Modelle der Jacobischen. Als ersten Schritt zu einer weiteren Verallgemeinerung auf Jacobische Dreifaltigkeiten hyperelliptischer Kurven beschreiben wir die zugeordnete Kummersche Dreifaltigkeit und vermuten verschiedene Formeln, welche die explizite Arithmetik auf ihnen beschreiben. Hierbei stützen wir uns auf experimentielle Daten. Unter Annahme der Richtigkeit dieser Vermutung können wir viele der Resultate für Jacobische Flächen auf diesen Fall verallgemeinern. Schließlich verwenden wir einen Satz von Faltings, Gross und Hriljac, der die kanonische Höhe auf einer Jacobischen durch arithmetische Schnitttheorie auf der Kurve ausdrückt, um einen Algorithmus zu entwickeln, der prinzipiell auf jede Jacobische anwendbar ist. Allerdings benutzt dieser verschiedene externe Algorithmen, die teilweise nur im hyperelliptischen Fall implementiert sind, obwohl die Theorie im Allgemeinen verfügbar ist. Die möglichen Anwendungen der Berechnung kanonischer Höhen beinhalten die Bestimmung eines Erzeugendensystems der Mordell-Weil Gruppe der Jacobischen sowie die Berechnung ihres Regulators, der z.B. in der Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer vorkommt. Wir erläutern unseren Algorithmus anhand zweier Beispiele. Einerseits berechnen wir den Regulator einer Untergruppe der Mordell-Weil Gruppe einer hyperelliptischen Kurve vom Geschlecht 3 von endlichem Index, andererseits berechnen wir den nicht-archimedischen Anteil des Regulator im Fall einer nicht hyperelliptischen Kurve vom Geschlecht 4. Die verbleibenden archimedischen Anteile können berechnet werden, sobald die oben erwähnten externen Implementationen vorliegen.