Algebraische Approximation von Kählermannigfaltigkeiten

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Schrack, Florian:
Algebraische Approximation von Kählermannigfaltigkeiten.
Bayreuth , 2010
( Dissertation, 2010 , Universität Bayreuth, Fakultät für Mathematik, Physik und Informatik)

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Abstract

Eine kompakte komplexe Mannigfaltigkeit heißt algebraisch approximierbar, wenn sie beliebig kleine projektive Deformationen besitzt. Eine natürliche Fragestellung ist, ob jede kompakte Kählermannigfaltigkeit algebraisch approximierbar ist. Während dies in Dimension 2 nach den Arbeiten von Kodaira richtig ist, hat Voisin vierdimensionale Gegenbeispiele gefunden. In Dimension 3 ist die Frage noch offen. Ziel der vorliegenden Arbeit ist es, den dreidimensionalen Fall etwas näher zu beleuchten. Dazu wird algebraische Approximierbarkeit zunächst von einem allgemeinen Standpunkt aus betrachtet. Es werden Funktorialitätsfragen untersucht, also der Zusammenhang zwischen algebraischer Approximierbarkeit der Quelle und des Ziels gewisser holomorpher Abbildungen, und Ergebnisse für verschiedene Klassen von Abbildungen erzielt, wie etwa Aufblasungen, endliche Abbildungen, Faserungen und Morikontraktionen. Als Fallstudie einer konkreten Klasse von Kählerdreifaltigkeiten werden anschließend Konikbündel über Kählerflächen untersucht, die in natürlicher Weise in der Moritheorie auftreten. Nach dem Beweis einiger grundlegender Tatsachen über Konikbündel werden ihre Diskriminantenorte genauer untersucht und damit Chernklassenabschätzungen für Konikbündel mit relativer Picardzahl 1 über nichtalgebraischen kompakten Kählerflächen hergeleitet. Unter Verwendung dieser Abschätzungen wird die Existenz infinitesimaler Deformationen solcher Konikbündel gezeigt, was einen wichtigen ersten Schritt zum Beweis der algebraischen Approximierbarkeit darstellt. Ein spezieller Typ von Konikbündeln sind die projektivierten Rang-2-Bündel. Die Periodenabbildung verhilft zu einem guten Verständnis der Deformationstheorie solcher Bündel über K3-Flächen und zweidimensionalen Tori. Konkret werden Fortsetzungssätze für Geradenbündel und Rang-2-Bündel bewiesen, die implizieren, dass jedes projektivierte Rang-2-Bündel über einer K3-Fläche oder einem zweidimensionalen Torus algebraisch approximierbar ist. Durch Untersuchung von Aufblasungen solcher Flächen wird dieses Resultat auf projektivierte Rang-2-Bündel über beliebigen kompakten Kählerflächen mit Kodairadimension 0 ausgedehnt. Schließlich wird die zuvor entwickelte Deformationstheorie für Vektorbündel verwendet, um weitere Approximierbarkeitsergebnisse für Konikbündel über elliptischen Flächen und K3-Flächen zu bekommen.

Abstract in weiterer Sprache

A compact complex manifold is called algebraically approximable if it admits arbitrarily small projective deformations. A natural question to be asked is whether every compact Kähler manifold is algebraically approximable. While this is true in dimension two by the works of Kodaira, there are four-dimensional counterexamples due to Voisin. The question is still open in dimension three. The aim of this thesis is to shed some light on the three-dimensional case. To achieve this, we first approach algebraic approximability from a general viewpoint. We investigate functoriality questions, i.e.~the connection between algebraic approximability of the domain and the codomain of certain holomorphic maps, and obtain results for various different classes of maps, including blow-ups, finite maps, fibrations and Mori contractions. As a case study of a concrete class of Kähler threefolds, we proceed to examine conic bundles over Kähler surfaces, which arise in a natural way from Mori theory. After proving some basic facts about conic bundles, we investigate their discriminant loci in greater detail and thus obtain Chern class estimates for conic bundles with relative Picard number one over non-algebraic compact Kähler surfaces. By using these estimates, we show the non-rigidity of such conic bundles, which constitutes an important first step towards proving algebraic approximability. A special type of conic bundles is given by projectivized rank-two bundles. Using the period map, we get a good understanding of the deformation theory of such bundles over K3 surfaces and two-dimensional tori. Namely, we prove extension theorems for line bundles and rank-two vector bundles which imply that any projectivized rank-two bundle over a K3 surface or a two-dimensional torus is algebraically approximable. By examining blow-ups of such surfaces, we extend this result to projectivized rank-two bundles over arbitrary compact Kähler surfaces of Kodaira dimension zero. Finally, we use the deformation theory for vector bundles we developed before to prove some further approximability results for conic bundles over elliptic surfaces and K3 surfaces.