Globale Deformation spezieller Fano 3-Mannigfaltigkeiten

Titelangaben

Dorsch, Tobias:
Globale Deformation spezieller Fano 3-Mannigfaltigkeiten.
Bayreuth , 2013
( Dissertation, 2013 , Universität Bayreuth, Fakultät für Mathematik, Physik und Informatik)

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Abstract

Die Dissertation "Globale Deformation spezieller Fano 3-Mannigfaltigkeiten" beschäftigt sich mit der globalen Deformation von Fano Mannigfaltigkeiten mit Dimension 3 und Picardzahl 1. Genauer gesagt wird die Frage untersucht, ob die Tatsache, dass für eine glatte Familie kompakter komplexer Mannigfaltigkeiten $p: X \to \Delta$ über der komplexen Kreisscheibe $\Delta \subset \mathbb C$, die Fasern $X_t = p^{-1}(t)$, $t \in \Delta \setminus \{0\}$ über der punktierten Kreisscheibe Fano Mannigfaltigkeiten sind, impliziert, dass auch die zentrale Faser $X_0 = p^{-1}(0)$ eine Fano Mannigfaltigkeit ist. Die Arbeit gibt positive Antworten für den Fall, dass eine Faser über der punktierten Scheibe entweder ein Durchschnitt zweier Quadriken in $\mathbb P^5$ ist oder eine zweifache Überlagerung von $\mathbb P^3$, die entlang einer glatten quartischen Fläche verzweigt ist. Die wesentliche Schwierigkeit ist, zu zeigen, dass die zentrale Faser projektiv ist, was wir nicht a priori voraussetzen. Der Beweis im ersten Fall folgt nach Verwendung von Resultaten von J. Kollár relativ leicht aus der Deformationstheorie glatter, rationaler Kurven. Im zweiten Fall orientiert sich der Beweis – wieder nach Verwendung der Resultate von J. Kollár – zunächst an einem Beweis von I. Nakamura eines et- was stärkeren Resultats für die dreidimensionale Kubik an Stelle der zweifachen Überlagerung. Anders als bei Nakamura muss jedoch ausgeschlossen werden, dass die zentrale Faser $X_0$ bimeromorph auf den dreidimensionalen projektiven Raum abgebildet wird. Dies scheint zunächst absurd, macht jedoch den Haupt- teil der Arbeit aus.

Abstract in weiterer Sprache

The thesis "Globale Deformation spezieller Fano 3-Mannigfaltigkeiten" is concerned with global deformations of Fano threefolds with Picard number 1. More precisely the following question is looked at: if $p: X \to \Delta$ is a smooth family of compact complex manifolds over the unit disc and if the fibres $X_t = p^{-1}(t)$, for $t \in \Delta \setminus \{0\}$ are Fano manifolds with Picard number 1, is the central fibre also a Fano manifold? The main difficulty is to show that $X_0$ is a projective manifold which we do not assume a priori. The thesis gives a positive answer to this question in the case that a fibre over the punctured disc is an intersection of two quadrics in $\mathbb P^5$ or a double cover of projective 3-space ramified along a quartic surface. The proof in the first case is relatively easy using results of J. Kollár and the deformation theory of smooth, rational curves. In the second case the proof starts by following – again using results of J. Kollár – the proof of I. Nakamura of a slightly stronger result with the three dimensional cubic in place of the double cover. Unlike in that case, however, the possibility that the central fibre $X_0$ is mapped bimeromorphically to $\mathbb P^3$ has to be excluded. This seems absurd at first sight, but is the main difficulty of the proof.