An Optimal Control Approach to Implant Shape Design : Modeling, Analysis and Numerics

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Lubkoll, Lars:
An Optimal Control Approach to Implant Shape Design : Modeling, Analysis and Numerics.
Bayreuth , 2015 . - III, 210 S.
( Dissertation, 2015 , Universität Bayreuth, Fakultät für Mathematik, Physik und Informatik)

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Abstract

Facial trauma or congenital malformation of bones of the skull may degrade both skeletal integrity as well as the esthetic appearance. For the attending surgeon a prediction of the esthetic outcome of a bone replacement or augmentation implant insertion is challenging. Therefore, it would be advantageous if we were able to compute an implant shape from a given desired outcome. This task presents the main focus of this thesis. Besides the development of a model for the implant shape design problem, this work is concerned with the efficient solution and optimization of realistic models. This includes recent material laws for different soft tissue types as well as complex geometries attained from medical image data.
The implant shape design problem can be described as an optimal control problem with constraints given by the necessary optimality conditions in polyconvex hyperelasticity with nonlinear pressure-type boundary conditions. Important theoretical results, such as existence of solutions and higher regularity, are currently not available for such problems. Based on the existence result for polyconvex materials laws, existence of solutions of the nonconvex optimal control problem is proven for the case of a simpler Neumann boundary condition.
Due to the “impossible convexity” and the high nonlinearity of hyperelastic material laws the numerical solution of the arising problems is difficult. In this regard, an affine covariant composite step method for nonconvex, equality constrained optimization is presented. The corresponding globalization strategy is based on the affine covariant Newton method for underdetermined systems and cubic regularization methods for unconstrained optimization problems.
The linear systems arising from the discretization of constrained optimization problems are described by saddle point matrices. The efficient solution of these equality systems by conjugate gradient methods for convex and nonconvex problems is discussed. Moreover, an error estimator that fits into the affine covariant setting is presented.
The presented composite step method was implemented in the C++ finite element library Kaskade 7. The performance of the algorithm is demonstrated on several examples. Next to simple optimization problems, with admissible set given through models of linear and nonlinear heat transfer, we give four examples with nonconvex, hyperelastic constraints.

Abstract in weiterer Sprache

Traumata und kongenitale Fehlbildungen der Schädelknochen können sowohl die Integrität des Skeletts also auch das ästhetische Erscheinungsbild beeinträchtigen. Für den behandelnden Chirurgen ist die Vorhersage der ästhetischen Folgen des Einsatzes eines Knochenersatz- oder Augmentationsimplantats schwierig. Aus diesem Grund wäre es von Vorteil Implantatformen auf Grundlage eines gewünschten Ergebnisses zu berechnen zu können. Diese Fragestellung steht im Fokus dieser Arbeit. Neben der Herleitung eines Modells für das Implantatdesignproblem wird die effiziente numerische Lösung und Optimierung für realistische Problemstellungen behandelt. Dazu gehören aktuelle Materialbeschreibungen sowie komplexe Geometrien welche aus medizinischen Bilddaten gewonnen wurden.
Das Implantatdesignproblem kann als Optimalsteuerungsproblem modelliert werden, mit Nebenbedingungen gegeben durch die notwendigen Optimalitätsbedingungen der polykonvexen Hyperelastizität mit Druckrandbedingungen. Für diese Probleme sind wichtige theoretische Ergebnisse, wie Existenz von Lösungen oder höhere Regularität, zur Zeit nicht verfügbar. Für den Fall einfacherer Neumannrandbedingungen wird, basierend auf Existenzresultaten für polykonvexe Materialgesetze, die Existenz von Lösungen des nichtkonvexen Optimalsteuerungsproblem gezeigt.
Auf Grund der “unmöglichen Konvexität” und der starken Nichtlinearität hyperelastischer Materialgesetze ist die numerische Lösung der auftretenden Probleme schwierig. Hierfür wird eine affin kovariante “composite step” Methode vorgestellt. Die zugehörige Globalisierungsstrategie basiert auf dem affin kovarianten Newtonverfahren für unterbestimmte Systeme und kubischen Regularisierungsmethoden für unbeschränkte Optimierung.
Die linearen Gleichungssysteme, welche durch die Diskretisierung des beschränkten Optimierungsproblems entstehen, werden durch Sattelpunktmatrizen beschrieben. Die effiziente Lösung dieser Gleichungsysteme mittels konjugierter Gradientenverfahren für konvexe und nichtkonvexe Probleme wird diskutiert. Darüber hinaus wird ein Fehlerschätzer, der in den affin kovarianten Rahmen passt, vorgestellt.
Das vorgestellte “composite step”-Verfahren wurde in der C++-Finite-Elemente-Bibliothek Kaskade 7 implementiert. Das Verhalten des Algorithmus wird anhand verschiedener Beispiele demonstriert. Neben einfachen Optimierungsproblemen, deren zulässige Menge wir durch Modelle der linearen und nichtlinearen Wärmeleitung beschreiben, werden vier Beispiele mit nichtkonvexen, hyperelastischen Nebenbedingungen vorgestellt.