Threefolds Isogenous to a Product and Product quotient Threefolds with Canonical Singularities

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Gleißner, Christian:
Threefolds Isogenous to a Product and Product quotient Threefolds with Canonical Singularities.
Bayreuth , 2016 . - XVI,100 S.
( Dissertation, 2016 , Universität Bayreuth, Fakultät für Mathematik, Physik und Informatik)

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Abstract

In this thesis we study varieties isogenous to a product and product quotient varieties with canonical singularities in dimension three. A variety X isogenous to a product of curves is a quotient of a product of compact Riemann surfaces of genus at least two by the free action of a finite group:
X=(C₁ x...x Cₙ)/G.
Since Catanese introduced these objects in they turned out to be very useful to find new and interesting examples of varieties of general type. Especially the surface case has been studied extensively. We are interested in the systematic construction and classification of these varieties in dimension three. Our first main result is the full classification of threefolds isogenous to a product with ₓ(Oₓ)=-1 under the assumption that the induced actions of the maximal subgroups Gᵢ < G acting on Cᵢ are faithful. Our approach to achieve this result is algorithmic and relies on techniques from computational group theory. Part of the classification, namely the unmixed case, where the group G acts diagonally, has been achieved in a joint work with Davide Frapporti.

The notion of a product quotient variety X generalizes the definition of a variety isogenous to a product by allowing non-free group actions. We study these varieties in dimension three under the assumptions that X has canonical singularities and G acts faithfully on each factor of the product. The first assumption implies that we can consider a crepant terminalisation i.e. a proper birational morphism p: X - X, where X has only terminal singularities and p*(Kₓ) - Kₓ. Our first aim is to study the geography of these varieties i.e. relations between the Chern invariants X(Oₓ), e(X) and K³ₓ.
We provide such relations in the form of inequalities and discuss the boundary cases. This leads to a characterization of the examples, where X is smooth i.e. the examples admitting a smooth minimal model. For these varieties, we provide a classification algorithm to determines all examples for a given fixed value of X(Oₓ). In the last part of this thesis, we prove the sharp inequality K³ₓ >4 for product quotient threefolds X with canonical singularities and provide the full list of examples realizing
the minimum value K³ₓ - 4.

Abstract in weiterer Sprache

Gegenstand dieser Arbeit sind Varietäten isogen zu einem Produkt von Kurven und Produktquotienten mit kanonischen Singularitäten in Dimension drei.
Eine Varietät $X$ isogen zu einem Produkt von Kurven ist ein Quotient eines Produktes
$C_1 \times \ldots \times C_n$ kompakter Riemannscher
Flächen $C_i$ vom Geschlecht größer gleich zwei nach einer endlichen Gruppe $G$ von Automorphismen, die frei auf dem Produkt operiert:
$X=\big(C_1 \times \ldots \times C_n\big)/G$.
Diese Objekte wurden von Catanese eingeführt und haben sich seitdem als
sehr nützlich erwiesen, um neue und interessante Beispiele von Varietäten von allgemeinem Typ zu finden. Insbesondere
der zweidimensionale Fall wurde intensiv untersucht.
In dieser Arbeit sind wir an der systematischen Konstruktion und Klassifikation im dreidimensionalen Fall interessiert. Unser Hauptresultat ist die Klassifikation
aller dreidimensionaler Varietäten $X$ isogen zu einem Produkt von Kurven mit $\chi(\mathcal O_X)=-1$ unter der Voraussetzung, dass die induzierten Operationen
der maximalen Untergruppen $G_i \leq G$, die auf den Kurven $C_i$ wirken, treu sind.
Um dieses Ergebnis zu erhalten, verwenden wir Techniken aus der algorithmischen Gruppentheorie. Ein Teil unserer Klassifikation, der sogenannte ungemischte Fall, bei dem die Gruppe $G$ diagonal wirkt, ist Gegenstand einer gemeinsamen Arbeit mit Davide Frapporti.

Der Begriff des Produktquotienten erweitert den Begriff der Varietät isogen zu einem Produkt von Kurven dadurch, dass auch nicht freie Gruppenwirkungen zugelassen werden. Wir untersuchen diese Varietäten im dreidimensionalen Fall unter den Annahmen, dass $X$ kanonische Singularitäten hat und die Gruppe $G$ treu auf jedem Faktor des Produkts operiert. Die erste Annahme impliziert, dass eine krepante Terminalisierung existiert d.h.
ein eigentlicher, birationaler Morphismus $\rho \colon \widehat{X} \to X$ mit $\rho^{\ast}(K_X)=K_{\widehat{X}}$, so dass $\widehat{X}$ nur terminale Singularitäten besitzt. Unser erstes Ziel ist es die Geographie
dieser Varietäten d.h. Relationen zwischen den Chern Invarianten
$\chi(\mathcal O_{\widehat{X}}), \quad \quad e(\widehat{X}) \quad \quad \makebox{und} \quad \quad K_{\widehat{X}}^3$ zu untersuchen. Wir leiten Relationen in Form von Ungleichungen her und diskutieren deren Grenzfälle. Dies führt zu einer Charakterisierung jener Beispiele, bei denen $\widehat{X}$ glatt ist, die also ein glattes minimales Modell besitzen.
Wir stellen einen Algorithmus bereit, um diese Varietäten für einen gegebenen, fixierten Wert von $\chi(\mathcal O_{\widehat{X}})$ zu klassifizieren. Im letzten Teil dieser Arbeit beweisen wir die scharfe Schranke $K_X^3 \geq 4$ für dreidimensionale Produktquotienten mit kanonischen Singularitäten und berechnen die vollständige Liste aller Beispiele, die den minimalen Wert $K_X^3 = 4$ realisieren.