Irreducible Components of the Space of Curves with Split Metacyclic Symmetry

Titelangaben

Weigl, Sascha:
Irreducible Components of the Space of Curves with Split Metacyclic Symmetry.
Bayreuth , 2016 . - VII, 75 S.
( Dissertation, 2016 , Universität Bayreuth, Fakultät für Mathematik, Physik und Informatik)

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Abstract

Let $\mathfrak M_g$ be the moduli space of curves of genus $g\geq 2$. In this thesis we consider the subvariety $\mathfrak M_g(G)\subset \mathfrak M_g$ of curves which admit an effective action by a given finite group $G$. We want to determine its irreducible components.
We can view $\mathfrak M_g(G)$ as a union of irreducible subvarieties $\mathfrak M_{g,\rho}(G)$ in which for all curves $C\in \mathfrak M_{g,\rho}(G)$ the given $G$-covering $C\to C/G=:C'$ has a certain topological type $\rho$, i.e. the number $d$ of branching points, the totality of branching orders $m_1,...,m_d$ and the genus $g'$ of the base curve $C'$ are fixed. The goal is to distinguish these loci by a finer numerical invariant and to determine when containments occur. We treat both questions for special finite groups. \\
Formally, we consider suitable equivalence classes of injective group homomorphisms $\rho:G\to \Map_g$ into the mapping class group. This group acts on Teichmüller space $\mathcal T_g$, such that $\mathfrak M_g=\frac{\mathcal T_g}{\Map_g}$. We define $\mathfrak M_{g,\rho}(G)$ as the image of the fix locus $Fix(\rho(G))\subset \mathcal T_g$ under the canonical projection. We call such an equivalence class of maps a \emph{topological type}.\\ %By a result of Fabrizio Catanese the loci $\mathfrak M_{g,\rho}(G)$ are irreducible, (Zariski-)closed subsets of $\mathfrak M_g$.\\
The subvarieties $\mathfrak M_{g,\rho}(G)$ determine the following finer invariant, given by the monodromy of the unbranched part of the induced $G$-coverings: for each non trivial conjugacy class $\mathcal K$ of $G$ we consider the number of monodromy elements that lie in $\mathcal K$, modulo the action of the automorphism group of $G$ on the set of conjugacy classes of $G$. We call this datum the \emph{numerical type} $\nu$ of the covering. We set $\mathfrak M_{g,\nu}(G):=\bigcup_{[\rho]} \{\mathfrak M_{g,\rho}(G)~|\nu(\rho)=\nu\}.$
The first question we consider is whether these loci are irreducible, i.e. if each numerical type determines a topological type.\\

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In \emph{Part I} of the thesis we introduce this theory and present several group-theoretic results.\\

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In \emph{Part II} we prove our main result:
\begin{Theorem*}
Let $G$ be a semi-direct product of two cyclic groups of prime order. Then the loci $\mathfrak M_{g,\nu}(G)$ are irreducible.
%determined by their numerical type.
\end{Theorem*}

This result carries on results of Catanese, Lönne and Perroni. The authors proved the same result in case $G=D_n$ is a dihedral group and $g'=0$ and showed that it is does not hold for higher genus. \\
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A topological type does not always determine a (maximal) irreducible component of $\mathfrak M_g(G)$, since for two different topological types the corresponding loci may be contained in each other.\\
In \emph{Part III} of the thesis, a joint work with Binru Li, we answer the following question: let $G=D_n$ be the dihedral group of order $2n$. For which pairs of topological types $\rho,\rho'$ does $\mathfrak M_{g,\rho}(D_n) \subset \mathfrak M_{g,\rho'}(D_n)$ hold? This completes the classification of the irreducible components of $\mathfrak M_g(D_n)$ by Catanese, Lönne and Perroni.

Abstract in weiterer Sprache

Sei $\mathfrak M_g$ der Modulraum der Kurven vom Geschlecht $g\geq 2$. In dieser Arbeit beschäftigen wir uns mit der Untervarietät $\mathfrak M_g(G) \subset \mathfrak M_g$ aller Kurven, die eine effektive Gruppenwirkung einer gegebenen endlichen Gruppe $G$ besitzen. Wir wollen ihre irreduziblen Komponenten bestimmen. Dabei können wir $\mathfrak M_g(G)$ auffassen als Vereinigung von irreduziblen Untervarietäten $\mathfrak M_{g,\rho}(G)$, in denen für alle Kurven $C\in \mathfrak M_{g,\rho}(G)$ die induzierte Überlagerung $C\to C/G=:C'$ einen bestmmten \emph{topologischen Typ} $\rho$ hat, d.h. es sind dort die Anzahl $d$ der Verzweigungspunkte, die Gesamtheit der Verzweigungsordnungen $m_1,...,m_d$ und das Geschlecht $g'$ der Basiskurve fixiert. Das Ziel ist diese Orte durch eine feinere numerische Invariante zu unterscheiden und zu untersuchen wann Enthaltungen auftreten. Wir behandeln beide Fragen für spezielle endliche Gruppen.\\
Formal betrachten wir geeignete Äquivalenzklassen von injektiven Gruppenhomomorphismen $\rho:G\to \Map_g$ in die Abbildungsklassengruppe. Diese operiert auf dem Teichmüller Raum $\mathcal T_g$, so dass $\mathfrak M_g =\frac{\mathcal T_g}{\Map_g}$. Wir definieren $\mathfrak M_{g,\rho}(G)$ als das Bild des Fixlokus $Fix(\rho(G))\subset \mathcal T_g$ unter der kanonischen Projektion. Eine solche Äquivalenzklasse von Abbildungen $\rho$ nennen wir \emph{topologischen Typ}. %Nach einem Resultat von Fabrizio Catanese sind die Orte $\mathfrak M_{g,\rho}(G)$ irreduzible, (Zariski-) abgeschlossene Teilmengen von $\mathfrak M_g$.\\
Die Untervarietäten $\mathfrak M_{g,\rho}(G)$ bestimmen die folgende feinere Invariante, gegeben durch die Monodromie des unverzweigten Teils der induzierten $G$-Überlagerungen: Für jede nicht triviale Konjugationsklasse $\mathcal K$ von $G$ betrachten wir die Anzahl der Monodromieelemente, welche in $\mathcal K$ liegen, modulo der Operation der Automorphismengruppe von $G$ auf der Menge der Konjugationsklassen von $G$. Dieses Datum nennen wir den \emph{numerischen Typ} $\nu$ der Überlagerung. Wir setzen $\mathfrak M_{g,\nu}(G):=\bigcup_{[\rho]} \{\mathfrak M_{g,\rho}(G)~|\nu(\rho)=\nu\}.$
Die erste Frage mit der wir uns beschäftigen ist ob $\mathfrak M_{g,\nu}(G)$ irreduzibel ist, das heißt ob jeder numerische Typ einen topologischen Typ bestimmt.\\

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In \emph{Teil I} der Arbeit führen wir in diese Theorie ein und präsentieren einige gruppentheoretische Resultate.\\

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In \emph{Teil II} beweisen wir das Hauptresultat der Arbeit:
\begin{Theorem*}
Sei $G$ das semidirekte Produkt zweier zyklischer Gruppen von Primzahlordnung. Dann sind die Varietäten $\mathfrak M_{g,\nu}(G)$ irreduzibel.
\end{Theorem*}
Dieses Resultat ist eine Weiterführung der Untersuchungen von Catanese, Lönne und Perroni. Die Autoren haben dasselbe Resultat für Diedergruppen $G=D_n$ bewiesen, im Falle dass das Geschlecht der Basiskurve $g'=0$ ist und gezeigt, dass die Aussage für höheres Geschlecht nicht gilt.\\
Ein topologischer Typ bestimmt im Allgemeinen keine (maximale) irreduzible Komponente von $\mathfrak M_g(G)$, da für verschiedene topologische Typen die entsprechenden Orte ineinander enthalten sein können.\\ In \emph{Teil III} der Arbeit, eine gemeinsame Arbeit mit Binru Li, beantworten wir die folgende Frage: Sei $G=D_n$ die Diedergruppe der Ordnung $2n$. Für welche Paare $\rho,\rho'$ von topologischen Typen gilt dann $\mathfrak M_{g,\rho}(D_n)\subset \mathfrak M_{g,\rho'}(D_n)?$ Dies vervollständigt die Klassifikation der irreduziblen Komponenten von $\mathfrak M_g(D_n)$ von Catanese, Lönne und Perroni.