Projective divisible binary codes

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Heinlein, Daniel ; Honold, Thomas ; Kiermaier, Michael ; Kurz, Sascha ; Wassermann, Alfred:
Projective divisible binary codes.
Bayreuth , 2017 . - 10 S.

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Abstract

For which positive integers n, k, and r does there exist a linear [n,k] code C over GF(q) with all codeword weights divisible by q^r and such that the columns of a generating matrix of C are projectively distinct? The motivation for studying this problem comes from the theory of partial spreads, or subspace codes with the highest possible minimum distance, since the set of holes of a partial spread of r-flats in PG(v-1,GF(q)) corresponds to a q^r-divisible code with k <= v. In this paper we provide an introduction to this problem and report on new results for the binary case q=2.

Abstract in weiterer Sprache

Für welche positiven ganzen Zahlen n, k und r gibst es einen linearen [n,k] Code C über GF(q) bei dem die Gewichte aller Codewörter durch q^r teilbar sind und die Spalten der Generatormatrix von C projektiv verschieden sind? Die Motivation für diese Fragestellung kommt aus der Theorie der partial spreads bzw. Teilraumcodes mit der größtmöglichen Minimaldistanz. Der Zusammenhang ist gegeben durch die Tatsache, dass die sogenannten Löcher eines partial r-spreads in PG(v-1,GF(q)) einem q^r-teilbaren Code mit k <= v entsprechen. Hier betrachten wir den binären Fall q=2 und geben eine Einführung in die Fragestellung der Existenz q^r-teilbarer linearer Codes.