Rigid Irregular Connections and Wildly Ramified l-adic Local Systems of Type G2

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Jakob, Konstantin:
Rigid Irregular Connections and Wildly Ramified l-adic Local Systems of Type G2.
Bayreuth , 2018 . - 125 S.
( Dissertation, 2017 , Universität Bayreuth, Fakultät für Mathematik, Physik und Informatik)

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Abstract

Rigid local systems classically arise as the solution sheaves of regular singular com- plex ordinary differential equations without accessory parameters. In the 1990’s Katz proved that any system of this kind can be reduced to a system of rank one using a convolution operation on local systems. In the 2000’s Arinkin extended this algorithm to irregular singular differential equations using in addition the Fourier- Laplace transform of D-modules. An analogue of this algorithm can be obtained for l-adic sheaves on an open subset of the projective line over the algebraic closure of a finite field. Using the extended Katz-Arinkin-Deligne algorithm we classify rigid irregular (resp. wild) connections (resp. l-adic local systems) with differential Ga- lois group (resp. monodromy group) of type G2 of slopes at most 1. Here G2 is the simple exceptional algebraic group which can be defined as a subgroup of SO(7) stabilizing the Dickson alternating trilinear form. In the course of the classification we construct rigid systems on Gm which are neither of hypergeometric type nor a pull-back by a Kummer covering of Gm of a hypergeometric system and compute their differential Galois group, which turns out to be of type G2. In order to use the Katz-Arinkin-Deligne algorithm we explicate its proof in positive characteristic. Additionally we introduce invariants and methods inspired by differential Galois theory in positive characteristic to classify l-adic local systems.

Abstract in weiterer Sprache

In der klassischen Theorie erhält man starre lokale Systeme als Lösungsgarben regulärer singulärer starrer gewöhnlicher komplexer Differentialgleichungen. In den 1990ern bewies Katz, dass jedes starre lokale System mit Hilfe einer Faltungsoperation zu einem System von Rang 1 reduziert werden kann. In den 2000ern erweiterte Arinkin diesen Algorithmus auf irregulär singuläre Differentialgleichungen, indem er als weitere Operation die Fourier-Laplace-Transformation von D-Moduln einführte. Im Falle l-adischer Garben auf einer offenen Teilmenge der projektiven Gerade über dem algebraischen Abschluss eines endlichen Körpers erhält man eine analoge Aussage für die entsprechenden Operationen in diesem Kontext. Unter Benutzung dieses erweiterten Algorithmus werden in dieser Arbeit starre irreguläre (bzw. wilde) Zusammenhänge (bzw. l-adische lokale Systeme) mit differentieller Galoisgruppe (bzw. Monodromiegruppe) vom Typ G2 und mit Slopes höchstens 1 klassifiziert. Hierbei ist G2 die einfache algebraische Gruppe, die als Untergruppe von SO(7) als Stabilisator der alternierenden Dickson Trilinearform definiert wer- den kann. Im Laufe der Klassifikation werden starre Systeme auf Gm konstruiert, die weder von hypergeometrischem Typ noch der Rückzug mittels einer Kummerüberlagerung von Gm eines Systems von hypergeometrischem Typ sind. Ihre differentielle Galoisgruppe wird bestimmt und es stellt sich heraus, dass diese tatsächlich vom Typ G2 ist. Um den erweiterten Algorithmus nach Arinkin und Deligne zu benutzen, wird dessen Beweis in positiver Charakteristik vorgestellt. Zusätzlich führen wir Invarianten und Methoden in positiver Charakteristik ein, die von differentieller Galoistheorie inspiriert wurden, um die Klassifikation durchzuführen.