Optimal control of time-discretized contact problems

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Müller, Georg:
Optimal control of time-discretized contact problems.
Bayreuth , 2019 . - x, 213 S.
( Dissertation, 2019 , Universität Bayreuth, Fakultät für Mathematik, Physik und Informatik)
DOI: https://doi.org/10.15495/EPub_UBT_00004379

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Abstract

The dynamic interaction of a viscoelastic body and a rigid obstacle is inherently nonlinear, and optimization problems with these constraints are complex, nonsmooth complementarity constrained problems.
Developing optimization algorithms for these problems and correctly assessing their limitations requires detailed knowledge of the problem structure, specifically with respect to the characteristics of contact patches as the source of nonsmoothness.
In this thesis, a comprehensive sensitivity analysis of frictionless, linearly viscoelastic, time-discretized one-body contact problems is presented, and existence as well as strong stationarity of minimizers of the associated optimal control problems are shown.
The results are used in the design, implementation and evaluation of two adjoint-based optimization schemes.

The analysis of the problem is strongly dependent on the formulation of the contact constraints on the boundary of the domain in the framework of weak solutions.
Several Sobolev capacities are examined with respect to their boundary behavior and their suitability for the constraint's formulation.
Under mild regularity assumptions on the data, all reasonable notions of capacity are proven to be equivalent.
Additionally, the formulation of the contact constraints with respect to the corresponding quasi everywhere sense is shown to coincide with the formulation using the classic, measure theoretical sense.
This enables the use of a wide range of results from these previously unrelated approaches in the subsequent analysis.

The time-continuous contact problem is discretized using nonconforming finite elements, and the solution operator to the contact implicit time-discretized problem is shown to be Hadamard differentiable.
A localized representation of the contact forces is derived to obtain a pointwise characterization of the linearized boundary conditions, which allows for the identification of the operator's points of (non-)differentiability in the sense of Gâteaux.
Existence of minimizers of the optimization problem and their stationarity conditions are derived using the differentiability information on the operator.

Based on the adjoint problem in the stationarity condition, a subgradient-type search direction is computed as part of a line search method and a corresponding momentum method.
The behavior of their implementations is evaluated numerically using three test configurations.
Particularly, the dependence of the problem-specific nonsmoothness and its effects on the algorithms on the contact boundaries' geometries and the objective functional are examined.

Abstract in weiterer Sprache

Die dynamische Wechselwirkung zwischen einem viskoelastischen Körper und einem starren Hindernis ist von Natur aus nichtlinear, und Optimierungsprobleme mit diesen Nebenbedingungen sind komplexe, nichtglatte Probleme mit Komplementaritätsbeschränkungen.
Optimierungsalgorithmen für solche Probleme zu entwickeln und deren Potential korrekt einzuschätzen erfordert ein detailliertes Verständnis der Problemstruktur, insbesondere bezüglich der Beschaffenheit von den Kontaktbereichen als Ursache der Nichtglattheit.
In dieser Arbeit werden umfangreiche Sensitivitätsuntersuchungen für zeitdiskretisierte Einkörperkontaktprobleme in reibungsfreier, linearer Viskoelastizität vorgestellt und Existenz sowie starke Stationarität von Minimierern der dazugehörigen Optimalsteuerungsprobleme gezeigt.
Die Ergebnisse werden für die Entwicklung, Implementierung und Auswertung von zwei Optimierungsalgorithmen, die auf einem adjungierten Problem basieren, genutzt.

Die Analyse des Problems hängt stark von der schwachen Formulierung der Kontaktbedingungen auf dem Gebietsrand ab.
Verschiedene Sobolev-Kapazitäten werden hinsichtlich ihres Verhaltens am Rand und ihrer Eignung für die Verwendung in der Formulierung der Nebenbedingung untersucht.
Unter schwachen Voraussetzungen an die Daten wird bewiesen, dass alle geeigneten Kapazitätsbegriffe äquivalent sind.
Weiterhin wird gezeigt, dass die Formulierungen der Kontaktbedingungen, die auf dem quasi-überall-Sinn dieser Kapazitäten beruhen, mit der klassischen, maßtheoretischen Formulierung übereinstimmen.
In der darauffolgenden Analysis ermöglicht das die Verwendung einer Vielzahl verschiedener Resultate aus den jeweiligen, bisher voneinander unabhängigen Ansätzen.

Aus dem zeitkontinuierlichen Kontaktproblem wird über nichtkonforme Finite-Elemente ein kontaktimplizites zeitdiskretisiertes Problem hergeleitet, von dessen Lösungsoperator die Hadamard-Differenzierbarkeit gezeigt wird.
Eine lokalisierte Darstellung der Kontaktkräfte ermöglicht eine punktweise Charakterisierung der linearisierten Randbedingungen, durch welche die Punkte der Gâteaux-(Nicht-)Differenzierbarkeit des Operators identifiziert werden können.
Mit Hilfe der Differenzierbarkeitsinformationen werden die Existenz von Minimierern des Optimierungsproblems sowie deren Stationaritätsbedingungen bewiesen.

Aufbauend auf dem adjungierten Problem wird eine subgradientenartige Suchrichtung für die Verwendung in einer Liniensuche und einem Impulsverfahren berechnet.
Das Verhalten von deren Implementierungen wird anhand dreier Testprobleme numerisch ausgewertet.
Insbesondere wird die Geometrie- und Zielfunktionalabhängigkeit der problemspezifischen Nichtglattheit und ihrer Einflüsse auf das Verhalten der Algorithmen untersucht.