Model Predictive Control for Partial Differential Equations

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Altmüller, Nils:
Model Predictive Control for Partial Differential Equations.
Bayreuth , 2014 . - XIV, 169 S.
( Dissertation, 2014 , Universität Bayreuth, Fakultät für Mathematik, Physik und Informatik)

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Abstract

In this thesis we are concerned with model predictive control (MPC) of partial differential equations. The idea is to approximate an infinite time horizon optimal control problem by a sequence of finite horizon optimal control problems. The optimization horizon plays a crucial role in the stability analysis. In the first part we analyse the minimal stabilizing horizon for different classes of parabolic partial differential equations with distributed or boundary control. This horizon is for theoretical as well as for numerical reasons of particular interest. The proofs are essentially based on an exponential controllability condition. Our results can be exploited to deduce guidelines for the stage cost in the algorithm. Furthermore, we analyse the stability of the boundary controlled wave equation. The second part of this thesis deals with the algorithms in model predictive control. First, we summarize well known algorithms from optimal control of partial differential equations and analyse the applicability to MPC. Moreover, we show the possibility to combine predictive control with the model reduction technique proper orthogonal decomposition. Furthermore, we investigate the benefit of MPC algorithms with varying optimization horizon and present a new approach which uses multigrid methods. A short introduction into our numerical implementation can also be found in this thesis. In the last part we analyse the presented algorithms by means of numerical simulations of some test examples.

Abstract in weiterer Sprache

Das Thema dieser Dissertation ist die modellprädiktive Regelung (MPC) von partiellen Differentialgleichungen. Die Idee ist hierbei, ein Optimalsteuerungsproblem auf unendlichem Zeithorizont durch eine iterative Folge von Optimalsteuerungsproblemen auf endlichem Horizont zu approximieren. Eine wesentliche Größe in der Stabilitätsanalyse ist der Optimierungshorizont. Im ersten Teil dieser Arbeit wird der kürzeste stabilisierende Horizont, welcher sowohl aus theoretischer als auch aus numerischer Sicht von großem Interesse ist, theoretisch analysiert. Dies erfolgt für verschiedene Klassen von parabolischen partiellen Differentialgleichungen mit verteilter- oder Randsteuerung. Eine wesentliche Rolle spielt hierbei der Nachweis einer exponentiellen Kontrollierbarkeitsbedingung. Die Resultate dienen insbesondere der Analyse geeigneter Zustandskosten. Weiterhin werden Ergebnisse für die randgesteuerte Wellengleichung vorgestellt. Der zweite Teil dieser Arbeit beschäftigt sich mit den Algorithmen zur modellprädiktiven Regelung. Zunächst werden aus der Literatur bekannte Algorithmen der Optimalsteuerung partieller Differentialgleichungen vorgestellt und die Anwendbarkeit auf MPC analysiert. Es wird aufgezeigt, wie sich die modellprädiktive Regelung mit der Modellreduktionstechnik Proper Orthogonal Decomposition (POD) kombinieren lässt. Zudem wird der Nutzen von MPC Algorithmen mit variabler Horizontlänge diskutiert und ein neuer auf Mehrgittermethoden basierender Algorithmus präsentiert. Des Weiteren erfolgt eine Einführung in die parallel entstandene Implementierung. Im letzten Teil der Arbeit wird die Effizienz der Algorithmen anhand einiger Testbeispiele in Parameterstudien numerisch analysiert.