Fourier-Deligne transformation of perverse sheaves and the change of Frobenius traces under the Katz algorithm

Titelangaben

Tenzler, Julian:
Fourier-Deligne transformation of perverse sheaves and the change of Frobenius traces under the Katz algorithm.
Bayreuth , 2020 . - 110 S.
( Dissertation, 2020 , Universität Bayreuth, Bayreuther Graduiertenschule für Mathematik und Naturwissenschaften - BayNAT)
DOI: https://doi.org/10.15495/EPub_UBT_00004633

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Abstract

The classical Katz algorithm gives an answer to the "Irreducible Recognition and Construction Problem" which asks whether a given set of local monodromy representations comes from an irreducible and rigid l-adic local system. The algorithm submits perverse sheaves, a generalization of local systems, defined over algebraically closed fields to a sequence of middle convolution and tensor products. Dettweiler and Reiter introduced the idea to use the reverse of this algorithm to construct rigid local systems which give rise to new realizations of certain groups as Galois groups over the rational numbers. In this work we make the shift to perverse sheaves defined over finite fields. This enriches the local monodromy data with traces of geometric Frobenius elements. Using work of Katz and Laumon we study the relation between middle convolution and Laumon's (local) Fourier-Deligne transformation and give explicit formulars for the changing behavior of the local monodromy and the Frobenius data of a certain subcategory of the perverse sheaves along the individual steps of the Katz algorithm. This provides new tools for studying the middle convolution over finite fields and realizing new groups as Galois groups over the rational numbers.

Abstract in weiterer Sprache

Der klassische Katz-Algorithmus gibt eine Antwort auf das "Irreduzible Erkennungs- und Konstruktionsproblem", welches danach fragt, ob eine gegebene Anzahl von lokalen Monodromiedarstellungen von einem irreduziblen und starren l-adischen lokalen System stammt. Der Algorithmus unterwirft perverse Garben, eine Verallgemeinerung von lokalen Systemen, welche über algebraisch abgeschlossenen Körpern definiert sind, einer Reihe von mittleren Faltungs- und Tensorprodukten. Dettweiler und Reiter führten die Idee ein, die Umkehrung dieses Algorithmus dafür zu benutzen, lokale Systeme zu konstruieren, die zu neuen Realisierungen von bestimmten Gruppen als Galoisgruppen über den rationalen Zahlen führen. In dieser Arbeit verlagern wir unseren Fokus auf perverse Garben, welche über endlichen Körpern definiert sind. Dies bereichert die lokale Monodromiedaten mit Spuren von geometrischen Frobeniuselementen. Wir verwenden die Arbeiten von Katz und Laumon, um den Zusammenhang zwischen mittlerer Faltung und Laumons (lokaler) Fourier-Deligne-Transformation zu studieren, und präsentieren explizite Formeln für das Veränderungsverhalten der lokalen Monodromie- und Frobeniusdaten von einer bestimmten Unterkategorie von der perversen Garben entlang der einzelnen Schritte des Katz-Algorithmus. Dies stellt neue Werkzeuge zur Verfügung, die helfen die mittlere Faltung über endlichen Körpern zu studieren und neue Gruppen als Galoisgruppen über den rationalen Zahlen zu realisieren.