Optimal Control of Static Contact in Finite Strain Elasticity

Titelangaben

Stöcklein, Matthias:
Optimal Control of Static Contact in Finite Strain Elasticity.
Bayreuth , 2020 . - X, 169 S.
( Dissertation, 2020 , Universität Bayreuth, Fakultät für Mathematik, Physik und Informatik)
DOI: https://doi.org/10.15495/EPub_UBT_00005203

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Abstract

Optimal control of nonlinear elasticity with contact constraints yields a non-convex con-
strained bilevel optimization problem. For the lower level problem, solutions do not
have to be unique, and corresponding first order conditions only hold for very restric-
tive settings. Further, the contact constraints add non-smoothness, resulting in a highly
challenging problem with a severe lack of structure. The main goal of this thesis is to ex-
tend existing results in optimal control of nonlinear elasticity to the contact constrained
case and to develop specialized and efficient solution algorithms.
First, the contact constraints are relaxed by deploying a variant of the normal compli-
ance method. For the regularized elastic contact problem, the convergence of solutions
is shown, and corresponding rates are established, which also contribute to the analysis
of optimal control. Additionally, this also yields a regularized optimal control problem.
The existence of solutions is proven for the original optimal control problem and the
regularized one. In contrast to before, verifying convergence of solutions is a delicate
matter, and two approaches are presented to achieve this. Under strong assumptions,
the lack of structure can be overcome, and convergence is shown. However, these as-
sumptions are difficult to verify in applications. Therefore, a modified regularization is
introduced to establish similar results without these restrictions.
Solving optimal control problems of nonlinear elasticity requires robust nonlinear solvers.
Here, the energy minimizing property in the lower level problem is replaced by its formal
first order condition to apply a proven affine covariant composite step method. Further,
to solve the arising linear systems, a new iterative solver based on a projected CG
method is introduced. This algorithm takes into account the possible inexactness and
non-convexity and has the same convergence properties as a general gradient method.
Inserting these approaches into a path-following algorithm facilitates the approximation
of solutions to the original contact constrained optimal control problem. Also, a new
nonlinear update strategy for nonlinear elastic problems is presented and tested.

Abstract in weiterer Sprache

Optimale Steuerung von nichtlinear elastischen Kontaktproblemen führt zu einem nicht-
konvexen, beschränkten Bilevel-Optimierungsproblem. Die Lösungen des untergeordne-
ten Problems müssen nicht eindeutig sein und die Bedingungen erster Ordnung gelten
nur für sehr eingeschränkte Settings. Zudem implizieren die Kontaktbeschränkungen ei-
ne Nicht-Glattheit, was zu einem höchst anspruchsvollen Problem mit wenig Struktur
führt. Ziel dieser Arbeit ist es, die vorhandenen Ergebnisse zur Optimalsteuerung für
nichtlineare Elastizität auf den Fall mit Kontaktbeschränkungen zu erweitern und spe-
zialisierte und effiziente Lösungsalgorithmen zu entwickeln.
Zunächst werden die Kontaktbeschränkungen mithilfe einer normal compliance-Regula-
risierung relaxiert. Für das regularisierte elastische Kontaktproblem wird die Konver-
genz der Lösungen gezeigt und es werden entsprechende Konvergenzraten ermittelt, die
auch in der Optimalsteuerung Anwendung finden. Zusätzlich ergibt sich daraus auch ein
regularisiertes Optimalsteuerungsproblem. Die Existenz von Lösungen wird sowohl für
das regularisierte als auch für das ursprüngliche Problem nachgewiesen. Im Gegensatz
zu der vorherigen Analyse ist der Nachweis der Konvergenz der Lösungen hier weitaus
schwieriger und zwei mögliche Ansätze werden vorgestellt, um diesen zu erbringen. Un-
ter strikten Annahmen können die strukturellen Probleme überwunden werden und die
Konvergenz von Lösungen kann gezeigt werden. Diese Annahmen sind jedoch bei Anwen-
dungen schwer zu verifizieren. Daher wird eine modifizierte Regularisierung eingeführt,
um ähnliche Ergebnisse ohne derartige Einschränkungen zu erreichen.
Das numerische Lösen von Optimalsteuerungsproblemen mit nichtlinearer Elastizität
erfordert robuste nichtlineare Löser. Daher ist es erforderlich die Energieminimierung
im untergeordneten Problem durch die formale Bedingung erster Ordnung zu ersetzen,
um ein bewährtes affin-kovariantes composite step-Verfahren anzuwenden. Des Weiteren
wird zum Lösen der resultierenden linearen Systeme ein neuer iterativer Löser vorgestellt,
der auf einem projizierten CG-Verfahren basiert. Dieser Algorithmus berücksichtigt
mögliche Ungenauigkeiten und Nicht-Konvexitäten und hat die gleichen Konvergenz-
eigenschaften wie ein allgemeines Gradientenverfahren. Die Kombination mit einem
Pfad-Verfolgungs-Verfahren ermöglicht es, Lösungen des ursprünglichen Optimalsteue-
rungsproblems mit Kontaktbeschränkungen zu approximieren. Außerdem wird eine neue
nichtlineare Update-Strategie für nichtlinear-elastische Probleme vorgestellt.