Convergence of the Smoothed Particle Hydrodynamics Method for Barotropic Flows : Constructive Kernel Theory

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Franz, Tino:
Convergence of the Smoothed Particle Hydrodynamics Method for Barotropic Flows : Constructive Kernel Theory.
Bayreuth , 2020 . - 146 S.
( Dissertation, 2020 , Universität Bayreuth, Fakultät für Mathematik, Physik und Informatik)
DOI: https://doi.org/10.15495/EPub_UBT_00004969

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Abstract

Partikelmethoden sind gitterfreie Verfahren zur Lösung partieller Differentialgleichungen. Diese Methoden sind besonders in der numerischen Strömungsmechanik beliebt. Dabei wird das Fluid zunächst räumlich in eine Menge an Partikeln diskretisiert, welche sich mit der Zeit entlang der Lagrangeschen Trajektorien des Fluids bewegen. Die beobachteten Größen des Fluids werden somit mit dem Fluss transportiert. Im Gegensatz zu klassischen, gitterbasierten Verfahren, wie etwa der Finite-Volumen- oder Finite-Elemente-Methode, enthalten die Zeitableitungen der Größen keinen konvektiven Anteil und sind daher einfacher zu berechnen. Aufgrund der Lagrangschen Betrachtungsweise eignen sich diese Methoden im Besonderen für Problemstellungen mit hohen Geschwindigkeiten oder freien Oberflächen. Ein weiterer Vorteil ist, dass einige Erhaltungsgleichungen, wie zum Beispiel die Massenerhaltung, automatisch erfüllt sind.
Eines der bekanntesten und ältesten Partikelverfahren ist das Smoothed Particle Hydrodynamics (SPH) Verfahren. Diese Methode ist aufgrund ihrer einfachen Diskretisierungstechnik sehr beliebt, da sie neben den Partikeln nur eine festgelegte Kernfunktion verwendet, welche die Partikel glättet. Trotz einer Vielzahl an Anwendungen und teilweise beeindruckenden Resultaten ist das mathematische Verständnis dieser Methode jedoch noch beschränkt.
In dieser Arbeit wird die Konvergenz des SPH Verfahrens untersucht. Hierfür wird das Verfahren auf die Eulergleichungen mit einer speziellen, barotropischen Zustandsgleichung angewendet. Es steht vor allem die Konvergenz des semi-diskreten Problems und die Entwicklung passender Kernfunktionen im Vordergrund. Das Ziel ist es, einen ersten Schritt in Richtung einer allgemeinen Konvergenztheorie für das SPH Verfahren zu geben.
Unter Verwendung spezieller Bedingungen an die von dem SPH Verfahren verwendeten Kernfunktion werden Fehlerschranken für einen Energiefehlerterm hergeleitet, aus dem dann die punktweise Konvergenz des Verfahrens gefolgert wird. Dabei wird besonders zwischen dem Glättungsparameter und dem Diskretisierungsparameter unterschieden, um einen expliziten Zu-sammenhang beider Parameter herzuleiten.
Aufbauend auf den Wendland Funktionen wird eine Klasse radialer Kernfunktionen mit kompaktem Träger entwickelt, die sowohl die Bedingungen der Theorie als auch numerische Anforderungen erfüllt. Die Theorie wird dann um eine Zeitdiskretisierung erweitert, die die Konvergenz des vollständig diskretisierten Systems demonstrieren soll. Numerische Experimente sollen schließlich die theoretischen Resultate verifizieren.

Abstract in weiterer Sprache

Particle methods are meshless methods for solving partial differential equations. These methods are particularly popular for fluid flow simulations. The fluid is spatially discretized into a set of particles which move along the Lagrangian trajectories of the fluid over time. The observed quantities of the fluid are thus transported with the flow. In contrast to classical grid-based methods, such as the finite volume or finite element method, the time derivatives of the quantities do not contain a convective component and are therefore easier to calculate.
Due to the Lagrangian approach, these methods are particularly suitable for problems with a high velocity or free surfaces. A further advantage is that some conservation laws, for example mass conservation, are automatically satisfied.\\
One of the best known and oldest particle methods is the Smoothed Particle Hydrodynamics (SPH) method. This method is particularly popular because of its simple discretization technique as it uses besides the particles only a fixed kernel function which smooths the particles.
Despite a multitude of applications and some impressive results, the mathematical understanding of this method is still limited.
This thesis deals with the convergence of the SPH method.
For this, the method is applied to the Euler equations with a specific barotropic equation of state. The main focus lies on the convergence of the semi-discrete problem and the development of suitable kernel functions. The goal is to give a first step towards a general convergence theory for the SPH method.
Using specific conditions on the kernel function used by the SPH method, error bounds for an energy error term are derived, from which the pointwise convergence of the method is then deduced. A careful distinction is made between the smoothing parameter and the discretization parameter in order to derive an explicit relationship between the two parameters. Based on the Wendland functions, a class of radial kernel functions with compact support is developed, which satisfies both theoretical and numerical requirements. The theory is then extended to include a time discretization, demonstrating the convergence of the fully discretized system. Finally, numerical experiments are shown to verify the theoretical results.