Model Predictive Control for the Fokker--Planck Equation

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Fleig, Arthur:
Model Predictive Control for the Fokker--Planck Equation.
Bayreuth , 2021 . - VI, 145 S.
( Dissertation, 2021 , Universität Bayreuth, Fakultät für Mathematik, Physik und Informatik)
DOI: https://doi.org/10.15495/EPub_UBT_00005421

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Abstract

This work contributes to a better understanding of Model Predictive Control (MPC) in the context of the Fokker--Planck equation.

The Fokker--Planck equation is a partial differential equation (PDE) that describes the evolution of a probability density function in time.
One possible application is the (optimal) control of stochastic processes described by stochastic differential equations (SDEs).
Here, a macroscopic perspective is taken and instead of, e.g., individual particles (described by the SDE), all particles are controlled in terms of their density (described by the Fokker--Planck equation).
This results in a PDE-constrained optimal control problem.

Model Predictive Control is an established and widely used technique in industry and academia to (approximately) solve optimal control problems.
The idea of the "receding horizon" is easy to understand, the implementation is simple, and above all: MPC works very often in practice.
The challenge, however, is to specify conditions under which this can be guaranteed or to verify these conditions for concrete systems.

In this thesis it is analyzed in detail under which conditions the MPC closed loop is provably (practically) asymptotically stable, i.e., under which conditions it converges to the desired target or to a neighborhood thereof.
For this purpose we first introduce the Fokker--Planck framework and show the existence of optimal space- and time-dependent controls under (weak) regularity assumptions.
Subsequently, we consider both the case of stabilizing MPC and economic MPC and include both space-independent and space-dependent control functions in our analysis.

In the case of stabilizing MPC, we show asymptotic stability of the MPC closed loop for a class of linear stochastic processes if the prediction horizon N is long enough.
Moreover, we specify the minimal stabilizing horizon for specific stochastic processes.
In the course of the analysis difficulties of the used L^2 cost function come to light and the question arises whether other cost functions allow an easier analysis.

In the case of the economic MPC, we thus fix a specific stochastic process but consider different cost functions instead.
Here, the crucial system property for the effective use of the MPC controller is strict dissipativity.
This property is verified for different cost functions, where the main challenge is to find a suitable storage function.
It turns out that for the commonly used L^2 cost it is much more difficult to find such a storage function than for another cost function we propose.

Details of the numerical implementation with additional simulations and further research questions conclude the work.

Abstract in weiterer Sprache

Diese Arbeit trägt dazu bei, Modellprädiktive Regelung (MPC) im Zusammenhang mit der Fokker--Planck Gleichung besser zu verstehen.

Die Fokker--Planck Gleichung ist eine partielle Differentialgleichung (PDE), die die zeitliche Entwicklung einer Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion beschreibt.
Eine mögliche Anwendung ist die (optimale) Steuerung stochastischer Prozesse, die durch stochastische Differentialgleichungen (SDEs) beschrieben werden.
Hierbei wird eine makroskopische Perspektive eingenommen und anstelle von z.B. einzelnen Partikeln (beschrieben durch die SDE) die Gesamtheit aller Partikel in Form ihrer Dichte (beschrieben durch die Fokker--Planck Gleichung) gesteuert.
Dadurch erhält man ein Optimalsteuerungsproblem mit einer PDE als Nebenbedingung.

Modellprädiktive Regelung ist eine etablierte und in Industrie und Wissenschaft weit verbreitete Technik, mit der Optimalsteuerungsprobleme (approximativ) gelöst werden.
Die Idee des "receding horizon" ist einfach zu verstehen, die Implementierung ist simpel und vor allem: MPC funktioniert in der Praxis sehr oft.
Die Herausforderung ist es hingegen, Bedingungen, unter denen man dies garantieren kann, anzugeben bzw. diese Bedingungen für konkrete Systeme zu verifizieren.

In dieser Arbeit wird genauer untersucht, unter welchen Bedingungen der geschlossene MPC-Regelkreis garantiert (praktisch) asymptotisch stabil ist, d.h. zum gewünschten Ziel bzw. in eine Umgebung des Ziels konvergiert.
Hierzu stellen wir zunächst das Fokker--Planck Framework vor und zeigen die Existenz von optimalen orts- und zeitabhängigen Kontrollen unter (schwachen) Regularitätsannahmen.
Anschließend betrachten wir sowohl den Fall des stabilisierenden MPC als auch den des ökonomischen MPC und berücksichtigen sowohl ortsunabhängige als auch ortsabhängige Kontrollfunktionen.

Im Falle des stabilisierenden MPC zeigen wir die asymptotische Stabilität des geschlos-senen MPC-Regelkreises für eine Klasse von linearen stochastischen Prozessen, sofern der Prädiktionshorizont N lang genug ist und spezifizieren den minimal nötigen Horizont für spezifische stochastische Prozesse.
Im Laufe der Analyse kristallisieren sich Schwierigkeiten der verwendeten L^2-Kostenfunktion heraus und es stellt sich die Frage, ob andere Kostenfunktionen eine einfachere Analyse ermöglichen.

Im Falle des ökonomischen MPC halten wir daher einen spezifischen stochastischen Prozess fest und betrachten dafür verschiedene Kostenfunktionen.
Die zentrale Systemeigenschaft für die effektive Nutzung des MPC-Reglers hier ist strikte Dissipativität.
Für verschiedene Kostenfunktionen wird diese Eigenschaft nachgewiesen, wobei hier die Herausforderung darin besteht, eine passende Speicherfunktion zu finden.
Hierbei stellt sich heraus, dass es für die üblich verwendeten L^2-Kosten erheblich schwieriger ist, eine solche Speicherfunktion zu finden, als für eine andere Kostenfunktion, die wir vorstellen.

Details zur numerischen Implementierung mit zusätzlichen Simulationen und weiteren Forschungsfragen schließen die Arbeit ab.