The Tensor Product Multilevel Method for High-dimensional Meshfree Approximation

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Kempf, Rüdiger:
The Tensor Product Multilevel Method for High-dimensional Meshfree Approximation.
Bayreuth , 2023 . - VIII, 205 S.
( Dissertation, 2023 , Universität Bayreuth, Fakultät für Mathematik, Physik und Informatik)
DOI: https://doi.org/10.15495/EPub_UBT_00007006

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Abstract

High-dimensional approximation problems appear naturally in many applications and they all suffer from the curse of dimensionality. The Smolyak algorithm gives a deterministic and easily analyzable way to alleviate that curse.
Its construction allows the use of well-known low-dimensional approximation operators and combines them in a predefined way to obtain a reconstruction of an unknown, high-dimensional target function.

In the context of mesh-free approximation, rescaled kernel-based methods are proven to have desirable properties, e.g., they are fast and stable as long as the set of sites satisfies minimal requirements. However, they do not converge if the scaling parameter is coupled linearly to the fill distance of the set of sites. A way to circumvent this trade-off principle is to thin out the point set in a controlled way and solve a stationary approximation problem on every level.
This gives rise to the kernel-based multilevel method.

This thesis combines the Smolyak algorithm with the ideas of kernel-based multilevel approach to obtain the tensor product multilevel method. In contrast to reconstruction approaches built upon polynomials or splines, this is a new approximation method for moderately high-dimensional target functions that is capable of combining arbitrary low-dimensional domains. This new method is introduced for different settings, its convergence is analyzed and numerical examples are given to support the theoretical results.

Abstract in weiterer Sprache

Hochdimensionale Approximationsprobleme treten in vielen Anwendungen auf und sie leiden alle unter dem Fluch der Dimensionalität. Der Smolyak-Algorithmus bietet eine deterministische und leicht zu analysierende Möglichkeit, diesen Fluch zu mildern.
Seine Konstruktion ermöglicht die Verwendung bekannter niedrigdimensionaler Approximationsoperatoren und kombiniert diese in einer vordefinierten Weise, um eine Rekonstruktion einer unbekannten, hochdimensionalen Zielfunktion zu erhalten.

Im Zusammenhang mit der netzfreien Approximation haben reskalierte kernelbasierte Verfahren nachweislich wünschenswerte Eigenschaften, z. B. sind sie schnell und stabil, solange die Menge der Stützstellen minimale Anforderungen erfüllt. Sie konvergieren jedoch nicht, wenn der Skalierungsparameter linear an die Fülldichte der Menge der Stützstellen gekoppelt ist. Eine Möglichkeit zur Umgehung dieses "trade-off principles" besteht darin, die Punktmenge kontrolliert auszudünnen und auf jedem Level ein stationäres Approximationsproblem zu lösen.
Daraus ergibt sich die kernbasierte Multilevel-Methode.

In dieser Arbeit wird der Smolyak-Algorithmus mit den Ideen der kernbasierten Multilevel-Methode kombiniert, um die Tensorprodukt-Multilevel-Methode zu erhalten. Im Gegensatz zu Rekonstruktionsansätzen, die auf Polynomen oder Splines aufbauen, handelt es sich hierbei um eine neue Approximationsmethode, die in der Lage ist, höherdimensionale Zielfunktionen auf Gebieten zu rekonstruieren, die Kombinationen von beliebigen niedrigdimensionalen Gebieten sind. Diese neue Methode wird für verschiedene Situationen vorgestellt, ihre Konvergenz wird analysiert und numerische Beispiele zur Unterstützung der theoretischen Ergebnisse gegeben.