On the degree of the canonical map of surfaces of general type

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Fallucca, Federico:
On the degree of the canonical map of surfaces of general type.
Bayreuth , 2024 . - xv, 192 S.
( Dissertation, 2023 , Universität Bayreuth, Fakultät für Mathematik, Physik und Informatik)
DOI: https://doi.org/10.15495/EPub_UBT_00007385

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Abstract

In this thesis, we study the degree of the canonical map of surfaces of general type. In particular, we give the first examples known in the literature of surfaces having degree d=10,11, 13, 14, 15, and 18 of the canonical map. They are presented in a self-contained and independent way from the rest of the thesis. We show also how we have discovered them. These surfaces are product-quotient surfaces. In this thesis, we study the theory of product-quotient surfaces giving also some new results and improvements. As a consequence of this, we have written and run a MAGMA script to produce a list of families of product-quotient surfaces having geometric genus three and a self-intersection of the canonical divisor large. After that, we study the canonical map of product-quotient surfaces and we apply the obtained results to the list of product-quotient surfaces just mentioned. In this way, we have discovered the examples of surfaces having degree d=10,11,14, and 18 of the canonical map. The remaining ones with degrees 13 and 15 do not satisfy the assumptions to compute the degree of the canonical map directly. Hence we have had to compute the canonical degree of these two families of product-quotient surfaces in a very explicit way through the equations of the pair of curves defining them. Another work of this thesis is the classification of all smooth surfaces of general type with geometric genus three which admits an action of a group G isomorphic to (Z/2Z)^k and such that the quotient is a projective plane. This classification is attained through the theory of abelian covers. We obtained in total eleven families of surfaces. We compute the canonical map of all of them, finding in particular a family of surfaces with a canonical map of degree 16 not in the literature.
We discuss the quotients by all subgroups of G finding several K3 surfaces with symplectic involutions. In particular, we show that six families are families of triple K3 burgers in the sense of Laterveer.

Finally, in another work we study also the possible accumulation points for the slopes K^2/ chi of unbounded sequences of minimal surfaces of general type having a degree d of the canonical map. As a new result, we construct unbounded families of minimal (product-quotient) surfaces of general type whose degree of the canonical map is 4 and such that the limits of the slopes K^2/ chi assume countably many different values in the closed interval[6+2/3, 8].

Abstract in weiterer Sprache

Questa tesi si concentra sullo studio e il calcolo del grado della mappa canonica di superfici di tipo generale
In particolare, presentiamo i primi esempi noti in letteratura di superfici con grado d=10,11, 13, 14, 15, e 18 della mappa canonica. Per rendere questi esempi accessibili a un pubblico più ampio, li trattiamo in modo indipendente dal resto della tesi. Queste superfici sono superfici prodotto-quoziente.

Iniziamo approfondendo la teoria delle superfici prodotto-quoziente e fornendo anche nuovi risultati significativi. Utilizzando tali risultati, sviluppiamo uno script in MAGMA per produrre una lista di famiglie di superfici prodotto-quoziente aventi genere geometrico tre e un' alta auto-intersezione del divisore canonico. Successivamente, studiamo la mappa canonica delle superfici prodotto-quoziente e applichiamo i risultati ottenuti alle superfici presenti nella lista generata dallo script. In questo modo, scopriamo gli esempi di superfici con grado d=10,11,14, e 18 della mappa canonica. Le restanti superfici con grado 13 e 15 non soddisfano le ipotesi necessarie per determinare direttamente il grado della mappa canonica, pertanto calcoliamo esplicitamente tali gradi attraverso le equazioni della coppia di curve che definiscono le due famiglie di superfici prodotto-quoziente.

Un altro contributo di questa tesi è la classificazione di tutte le superfici lisce di tipo generale con genere geometrico tre che ammettono un'azione di un gruppo G isomorfo a (Z/2Z)^k e tali che il quoziente sia un piano proiettivo. Per ottenere questa classificazione, utilizziamo la teoria dei rivestimenti abeliani. In totale, otteniamo undici famiglie di superfici, calcolando anche il grado della mappa canonica per ciascuna di esse. In particolare, troviamo una famiglia di superfici con una mappa canonica di grado 16 che non era presente in letteratura
Discutiamo anche i quozienti di queste famiglie per tutti i sottogruppi di G, trovando diverse superfici K3 con involuzioni simplettiche. In particolare, dimostriamo che sei famiglie sono famiglie di triple K3 burger nel senso di Laterveer.

Infine, in un altro studio, esaminiamo i possibili punti di accumulazione per le pendenze K^2/ chi di successioni illimitate di superfici minimali di tipo generale con un grado d della mappa canonica. Come risultato innovativo, costruiamo famiglie infinite di superfici minimali (prodotto-quoziente) di tipo generale, il cui grado della mappa canonica è 4, e i limiti delle pendenze K^2/ chi assumono un insieme numerabile di valori nell'intervallo chiuso [6+2/3, 8].