Discontinuous Galerkin methods and high performance computing approaches for ocean simulations

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Faghih-Naini, Sara:
Discontinuous Galerkin methods and high performance computing approaches for ocean simulations.
Bayreuth , 2024 . - XII, 115 S.
( Dissertation, 2024 , Universität Bayreuth, Fakultät für Mathematik, Physik und Informatik)
DOI: https://doi.org/10.15495/EPub_UBT_00007728

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Abstract

The shallow water equations (SWE) are a set of hyperbolic conservation laws frequently used to model oceanographic and atmospheric fluid flow. They are derived from the fundamental principles of mass and momentum conservation and are applicable when vertical dynamics can be considered negligible compared to horizontal effects. Therefore, they are a commonly used model to predict storm surges, tsunamis, and floods as well as to study tides and coastal ocean circulation.

Since finding analytical solutions for the SWE is limited to specific cases, numerical methods are the primary choice for solving these equations. However, the model poses challenges for the numerical approaches. These challenges originate from the nonlinear nature of the coupled equations, the different flow regimes ranging from smooth regions to shocks, and the complex computational grids arising from irregular domain boundaries and varying bottom topography. Hence, the SWE are also often employed to prototype numerical techniques for ocean circulation models. In this regard, discontinuous Galerkin (DG) methods stand out as a suitable approach, combining the respective strengths of continuous finite element and finite volume methods. They offer local conservation properties, robustness for handling shocks and discontinuities, applicability to complex geometries, and natural support for mesh and discretization order adaptivity.

Nonetheless, these benefits of DG discretizations come at the cost of high computational demands, which can only be partially mitigated through efficient parallel hardware utilization. As the increase in the number of transistors used in traditional central processing units levels off and the available hardware becomes more diverse, there is a need to explore new directions to enhance computational efficiency.

This thesis focuses on advancing the computational performance of DG discretizations applied to the two-dimensional SWE and explores several methodologies in pursuit of this goal.
It introduces a novel quadrature-free DG formulation for the nonlinear SWE, which relies solely on product-type nonlinearities. Traditional quadrature integrations are replaced with analytical evaluations. The method’s stability is proven with a new analysis approach.
The discretization is implemented within the Python frontend GHODDESS, which generates domain specific language code for the automatic code generation framework ExaStencils, which, in turn, provides performance portability.
Discretization order (p-) adaptivity is incorporated into the numerical scheme, including a new adaptivity indicator independent of user-defined input parameters. Thereby, the number of degrees of freedom is reduced while maintaining the solution quality.
The thesis furthermore investigates an algorithmic redesign of the p-adaptive scheme that separates the adaptive and non-adaptive parts of the model code to improve the hardware utilization of a heterogeneous CPU–GPU system, resulting in accelerated computations.
Lastly, it presents simulations on masked block-structured grids for realistic ocean domains, which, on the one hand, are capable of accurately meshing fine-scale geometric features and, on the other, offer performance benefits associated with structured grid models.
All proposed algorithmic adaptions are evaluated with various numerical test cases encompassing discontinuous solutions and typical tidal flow problems. With these contributions, this thesis advances the state of the art in numerical methods for simulating shallow-water flows.

Abstract in weiterer Sprache

Die Flachwassergleichungen (engl. shallow water equations – SWE) sind hyperbolische Erhaltungssätze, die häufig zur Modellierung ozeanografischer und atmosphärischer Strömungen verwendet werden. Sie leiten sich von den Grundprinzipien der Massen- und Impulserhaltung ab und sind anwendbar, wenn vertikale Dynamiken im Vergleich zu horizontalen Effekten als vernachlässigbar angesehen werden können. Daher werden sie häufig zur Vorhersage von Sturmfluten, Tsunamis und Überschwemmungen sowie zur Untersuchung von Gezeiten und der Ozeanzirkulation an der Küste verwendet.
Da analytische Lösungen für die SWE nur in speziellen Fällen gefunden werden können, sind numerische Methoden die bevorzugte Wahl zur Lösung dieser Gleichungen. Das Modell stellt jedoch Herausforderungen an die numerischen Ansätze. Diese ergeben sich aus der nicht-linearen Natur der gekoppelten Gleichungen, den unterschiedlichen Strömungsbereichen, die von glatten Regionen bis hin zu Schocks reichen, und den komplexen Rechengittern aufgrund unregelmäßiger Gebietsgrenzen und variabler Bodentopografie. Daher werden die SWE auch häufig als Prototyp für numerische Techniken für Ozeanzirkulationsmodelle verwendet. In diesem Zusammenhang zeichnen sich unstetige Galerkin (engl. discontinuous Galerkin – DG) Methoden als geeigneter Ansatz aus, da sie die jeweiligen Stärken von kontinuierlichen Finite-Elemente- und Finite- Volumen-Methoden kombinieren. Sie bieten lokale Erhaltungseigenschaften, Robustheit im Umgang mit Schocks und Unstetigkeiten, Anwendbarkeit auf komplexe Geometrien und natürliche Unterstützung für Gitter- und Diskretisierungsordnungs-Adaptivität.
Jedoch gehen diese Vorteile der DG-Diskretisierungen mit einem hohen Rechenaufwand einher, der nur teilweise durch effiziente parallele Hardwarenutzung gemildert werden kann. Mit dem abflachenden Anstieg der Anzahl von Transistoren in herkömmlichen Hauptprozessoren und der steigenden Vielfalt verfügbarer Hardware ist es notwendig, neue Ansätze zur Verbesserung der Recheneffizienz zu erforschen.


Diese Arbeit konzentriert sich auf die Verbesserung der Rechenleistung von DG-Diskretisierungen angewendet auf die zwei-dimensionalen SWE und untersucht mehrere Methoden, um dieses Ziel zu erreichen.
Sie stellt eine neue quadraturfreie DG-Formulierung für die nicht-linearen SWE vor, die ausschließlich auf Nichtlinearitäten in Produktform basiert. Traditionelle quadratur-basierte Integrationen werden durch analytische Auswertungen ersetzt. Die Stabilität der Methode wird mit einem neuen Ansatz analytisch bewiesen.
Die Diskretisierung ist in das Python-Frontend GHODDESS implementiert, das domänenspezifischen Sprachcode für das automatische Codegenerierungs-Framework ExaStencils generiert,
welches wiederum die effiziente Rechenleistung auf verschiedener Hardware gewährleistet.
Die Diskretisierungsordnungs- (p-) Adaptivität ist in das numerische Schema integriert, einschließlich eines neuen Adaptivitätsindikators, der unabhängig von benutzerdefinierten Eingabeparametern ist. Dadurch wird die Anzahl der Freiheitsgrade reduziert, während die Lösungsqualität erhalten bleibt.
Die Arbeit untersucht außerdem eine algorithmische Neugestaltung des p-adaptiven Verfahrens, das die adaptiven und nicht-adaptiven Teile des Modellcodes trennt, um die Hardwarenutzung heterogener CPU–GPU-Systeme zu verbessern, was zu mehr Effizienz führt.
Abschließend werden Simulationen auf maskierten block-strukturierten Gittern für realistische Ozeangebiete präsentiert. Diese Gitter sind in der Lage, kleinskalige geometrische Merkmale genau zu erfassen, und bieten gleichzeitig Rechenleistungsvorteile in Verbindung mit strukturierten Gittermodellen.
Alle vorgeschlagenen algorithmischen Anpassungen werden anhand verschiedener numerischer Testfälle evaluiert, die unstetige Lösungen und typische Gezeitenströmungsprobleme umfassen.
Durch diese Beiträge treibt diese Arbeit den Stand der Technik bei numerischen Methoden zur Simulation von Flachwasserströmungen voran.