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Gravitoturbulence, and its Interactions with the Magneto-Rotational Instability, in Accretion Disks

Title data

Löhnert, Lucas:
Gravitoturbulence, and its Interactions with the Magneto-Rotational Instability, in Accretion Disks.
Bayreuth , 2023 . - 176 p.
( Doctoral thesis, 2023 , Universität Bayreuth, Fakultät für Mathematik, Physik und Informatik)

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Abstract in another language

The research, described in this thesis, aims to study the nonlinear state of the gravitational instability
(GI, see, e.g., Kratter & Lodato 2016), and GI in combination with the magneto-rotational instability
(MRI, see, e.g., Balbus & Hawley 1998), in the context of accretion disks. The main research
method is the numerical simulation of accretion disks, in the local shearing-box approximation (see,
e.g., Balbus & Hawley 1998). Thereby, only a small part of the disk is considered, that is co-rotating
with the disk material, at a fixed fiducial radius. The differential rotation, of the accretion disk,
appears as a shear flow in the local, co-rotating system. The advantage of local models is that they
allow a more detailed analysis of the turbulence dynamics. In the magnetohydrodynamic (MHD)
context, this also includes possible dynamo processes. Summarised here are the three different
works, Löhnert, Krätschmer, & Peeters (2020), Löhnert & Peeters (2022), and Löhnert & Peeters
(2023). For convenience, the latter three are, in the following, referred to as LPK20, LP22, and
LP23, respectively.
The goal of the study LPK20 is to get a better insight into the turbulence structure of GI. Thereby,
an effectively two-dimensional, razor-thin setup is used (see, e.g., Gammie 2001), assuming that
the vertical disk scale is sufficiently short, in comparison to all dynamically relevant, horizontal
length scales. For the simulations, the hydrodynamics code DiskFlow is used. Turbulence is
often associated with an energy cascade towards ever smaller scales, or an inverse cascade in two
dimensions (see, e.g., Frisch 1995; Boffetta & Ecke 2012). The cascade, in the inertial range, leads to
a specific power law, in the power spectrum of the turbulent kinetic energy. Whether this is also the
case for GI-induced turbulence is not entirely clear (Kratter & Lodato 2016). Hence, in LPK20, the
turbulence geometry of GI is studied in more detail. It is observed that the power spectrum of the
radial velocity fluctuations, v_x, develops a k_x^(-2) scaling, with the radial wave vector, k_x. It is found
that this scaling is consistent with the appearance of hydrodynamic shocks. The velocity profile
v_x(x), for a typical shock geometry is analysed, and it is found that the corresponding Fourier
transform is consistent with a k_x^(-2) scaling. It is also demonstrated that a simple mixing-length model
can be constructed for GI turbulence. The typical length scale is associated with the shock-width,
and the typical time scale is given by the inverse growth rate of the most linearly unstable mode.
Often, the disk material (plasma) is sufficiently ionised, so that the magnetic field is frozen into the
fluid, necessitating the use of a magnetohydrodynamic description. A small magnetic seed field can
then give rise to MRI turbulence. Hence, for some disk systems, both instabilities might be relevant
simultaneously. This can, for example, be the case for certain regions of protoplanetary disks
(PPDs), with sufficient surface-mass density, and ionisation. And the interplay between GI and MRI
may be especially relevant for active galactic nuclei (see, e.g., Menou & Quataert 2001; Goodman
2003). Hence, the question arises how GI and MRI interact. In the context of PPDs, interactions
might occur indirectly, with GI, and MRI, operating in different parts of the accretion disk. A mismatch between the accretion rates (of GI, and MRI), can then lead to non-steady accretion
(see, e.g., Armitage, Livio, & Pringle 2001; Zhu, Hartmann, & Gammie 2009; Zhu, Hartmann, &
Gammie 2010; Martin & Lubow 2011; Martin et al. 2012). Less clear is the outcome of direct,
turbulent interactions. Early, global simulations (Fromang et al. 2004; Fromang 2005) suggested
that both instabilities can occur, and that MRI can influence GI. More recent, local simulations
(Riols & Latter 2018a; Riols & Latter 2019) suggest that MRI might not be present, replaced by a
GI dynamo. A possible GI dynamo is a more general finding of recent simulations (Riols & Latter
2018a; Riols & Latter 2019; Deng, Mayer, & Latter 2020; Riols et al. 2021; Béthune & Latter
2022), including the studies in this thesis. LP22 elaborates more closely on the possibility of direct
coexistence between GI and MRI, and concludes that GI-MRI coexistence does occur. The main
results of LP22 are briefly summarised, below.
The simulations in the first study, LPK20, discussed previously, are both purely hydrodynamical,
as well as two-dimensional. Such a model can be reasonable for GI, and it can lead to significant
savings of computational resources. However, the length scales, usually associated with MRI-induced
turbulence, are shorter than those associated with GI, and important dynamics may take place over
the vertical stratification length of the disk. Therefore, in LP22, a three-dimensional shearing-box
setup is applied, whereby the MHD code Athena is used. The evolution of GI, in an MHD regime,
is studied by introducing a weak, zero-net-flux (ZNF), magnetic-seed field, into a GI-turbulent
state. The main conclusion, in LP22, is that the saturated states of GI-MHD simulations are
consistent with a coexistence of both GI and MRI. The observed turbulent stresses can consistently
be separated into contributions from GI, and MRI. Moreover, in all cases, the ratio of Maxwell
stress to magnetic pressure, −2<B_x B_y>/<|B|^2>, is in the 0.3 − 0.4 range, a value typical for the
MRI, as shown in several studies (see, e.g., Hawley, Gammie, & Balbus 1995; Blackman, Penna,
& Varnière 2008; Simon, Hawley, & Beckwith 2011; Hawley, Guan, & Krolik 2011; Salvesen et al.
2016). Additionally, the horizontally-averaged, magnetic field component, By, as a function of
height, and time, shows an oscillating pattern, similar to a butterfly diagram, usually seen in
pure-MRI turbulence (see, e.g., Miller & Stone 2000; Turner 2004; Hirose, Krolik, & Stone 2006;
Shi, Krolik, & Hirose 2010; Simon, Beckwith, & Armitage 2012; Salvesen et al. 2016). The latter
findings mostly concern the MHD-saturated phase. However, shortly after field seeding, MRI is not
resolved (indicated by the quality factor, Q_mri). Yet, a significant field amplification is observed.
Hence, it is concluded that GI acts as a dynamo. It is then shown that the dynamo is consistent
with an α-Ω-type mechanism, whereby the exact dynamo parameters seem to depend on the
vertical elevation.
The third study, LP23, is a follow-up work to LP22. One goal is to further test the influence of GI
strength on the nonlinear outcome of the ideal-MHD, GI-MRI combined state. The strength of GI
is controlled, by modifying the cooling (heating) law, used in the simulations. That such changes of
the cooling (heating) model can influence the GI strength is a direct consequence of the fact that
GI saturates via a thermal self-regulation (see, e.g., Gammie 2001). All cases, except the case with
strongest GI activity, are consistent with GI-MRI coexistence. Although the turbulent stresses,
related to self-gravity, can vary significantly between the simulations, the Maxwell stresses are
comparable in all cases. Most prominently, the ratio of Maxwell stress to magnetic pressure is equal
to the pure-MRI value, in all cases, despite the GI strength varying up to a factor of two. The
weaker GI-cases invariably lead to a clearly visible butterfly diagram. In the case with strongest
GI activity, the butterfly diagram takes on a more irregular pattern. The vertical profiles of both
the electro-motive forces (EMFs) and the magnetic field components, are mostly consistent with a
superposition of GI and MRI contributions, whereby the least coincidence is found for the strong-GI
case. All previous simulations were set up in the ideal-MHD limit (grid effects neglected). However,
in realistic disk systems, especially in PPDs, non-ideal effects can be important, due to insufficient
ionisation (see, e.g., Armitage 2011). Many studies have been dedicated to investigate the evolution
of MRI in non-ideal regimes, with the conclusion that MRI might not be possible for all parameters.The simplest, non-ideal effect is Ohmic resistivity. Similar to the hydrodynamic Reynolds number,
Re, one can define a magnetohydrodynamic Reynolds number, Rm, replacing the viscosity by the
Ohmic resistivity. If Rm is too small, MRI is not possible, or substantially weakened (see, e.g., Sano
& Stone 2002; Ziegler & Rüdiger 2001; Simon & Hawley 2009; Simon, Hawley, & Beckwith 2011).
Hence, in LP23, the GI-MRI coexistence state is studied, with a finite Ohmic resistivity. It is found
that, for low enough Rm, the GI-MRI coexistence is replaced by a qualitatively new state. This
state develops higher magnetic field strengths than GI-MRI coexistence, which we attribute to the
GI dynamo, which operates more effectively without MRI. The new state also develops oscillations,
though the latter are not obviously connected to a butterfly diagram, and field reversals are absent.
It is found that theses oscillations are related to a periodic quenching, and re-emerging of GI. The
quenching occurs as a consequence of significant heating, due to Ohmic resistivity. It is then shown
that a transition occurs, for Rm ~ 500, with larger values leading to a state that is qualitatively
closer to the ideal-MHD cases, and especially the case with the highest GI activity.

Abstract in another language

Die hier gezeigten Arbeiten haben das Ziel die nichtlineare Entwicklung der Gravitationsinstabilität
(GI, siehe z.B. Kratter & Lodato 2016) und von GI in Kombination mit der Magnetorotationsinstabilität,
im Kontext von Akkretionsscheiben, zu untersuchen. Zu diesem Zweck werden
numerische Simulationen von Akkretionsscheiben, in der lokalen Shearing-Box Approximation (siehe
z.B. Balbus & Hawley 1998) durchgeführt und ausgewertet. Dabei wird nur ein kleiner Teil der
Scheibe betrachtet, der, bei einem bestimmten Radius, mit dem Material der Scheibe mitrotiert. Im
mitrotierenden Bezugssystem erscheint die differentielle Rotation der Akkretionsscheibe als lokale
Scherströmung. Lokale Modelle sind dahingehend vorteilhaft, dass sie eine genauere Analyse der
Turbulenz-Dynamik erlauben. Im Kontext der Magnetohydrodynamik beinhaltet das auch mögliche
Dynamo-Prozesse. Zusammengefasst werden hier die drei Arbeiten Löhnert, Krätschmer, & Peeters
(2020), Löhnert & Peeters (2022) und Löhnert & Peeters (2023). Aus Übersichtlichkeitsgründen
werden die letztgenannten Arbeiten im Folgenden als LPK20, LP22 und LP23 abgekürzt.
Ziel der ersten Arbeit, LPK20, ist es eine bessere Einsicht in die Turbulenz-Struktur von GI zu
gewinnen. Dabei wird ein effektiv zweidimensionales (razor-thin) Modell verwendet (siehe z.B.
auch Gammie 2001), wobei angenommen wird, dass die vertikale Ausdehnung der Schreibe hinreichend
klein ist, im Vergleich zu allen dynamisch relevanten, horizontalen Längenskalen. Für
die Simulationen wird der Hydrodynamik-Code DiskFlow verwendet. Häufig wird Turbulenz mit
einer Energiekaskade, hin zu immer kleineren Längenskalen, assoziiert oder auch einer inversen
Kaskade, im Falle von zweidimensionaler Turbulenz (siehe z.B. Frisch 1995; Boffetta & Ecke 2012).
Im Inertialbereich des kinetischen Leistungsspektrums führt die Kaskade zu einem spezifischen
Potenzgesetz. Inwiefern das bei GI-Turbulenz auftritt ist nicht hinreichend klar (Kratter & Lodato
2016). Daher ist ein Ziel, in LPK20, die Turbulenz-Geometrie von GI genauer zu untersuchen. Dabei
ist ein Resultat, dass die radialen Geschwindigkeitsfluktuationen, v_x, zu einem Potenzgesetz der
Form k_x^(-2), in der zugehörigen spektralen Leistungsdichte, führen, wobei k_x hier den radialen Wellenvektor
darstellt. Das Skalengesetz ist konsistent mit dem Auftreten von hydrodynamischen Shocks
(Diskontinuitäten), in der radialen Geschwindigkeitskomponente vx. Dabei wird für eine generische
Shock-Geometrie, v_x(x), gezeigt, dass die zugehörige Fouriertransformation ein k_x^(-2)-Potenzgesetz
im Energiespektrum reproduzieren kann. Es wird zudem demonstriert, dass die turbulenten Spannungen
(Reynolds und gravitativ) durch ein einfaches Mischungsweg-Modell abgeleitet werden
können. In diesem Zusammenhang wird die typische Längenskala durch die Shockgröße bestimmt
und die typische Zeitskala durch die inverse Wachstumsrate der meist-instabilen Mode.
In vielen Fällen ist das Scheibenmaterial (Plasma) hinreichend ionisiert, sodass Magnetfelder im Fluid
eingefroren sind. Eine Möglichkeit das Modell dahingehend zu erweitern ist eine magnetohydrodynamische
Beschreibung. Kleine Magnetfeldstärken reichen aus um die Magnetorotationsinstabilität
(MRI) auszulösen. In manchen Akkretionsscheiben könnten daher sowohl GI als auch MRI gleichzeitig aktiv sein. Das kann, zum Beispiel, auf bestimmte Regionen in Protoplanetaren Scheiben
(PPDs) zutreffen, die eine hinreichende Oberflächenmassendichte aufweisen und ausreichend ionisiert
sind. Und eine Kobination von GI und MRI könnte insbesondere für aktive galaktische Kerne
(AGNs) relevant sein (siehe z.B. Menou & Quataert 2001; Goodman 2003). Daher stellt sich
die Frage ob und wie GI und MRI wechselwirken. In PPDs könnte die Wechselwirkung indirekt
erfolgen, wobei GI und MRI in verschiedenen, räumlich getrennten Teilen der Scheibe aktiv sind.
Verschiedene Akkretionsraten, von GI und MRI, könnten dann zu nicht-stetiger Akkretion führen
(siehe z.B. Armitage, Livio, & Pringle 2001; Zhu, Hartmann, & Gammie 2009; Zhu, Hartmann,
& Gammie 2010; Martin & Lubow 2011; Martin et al. 2012). Weniger klar ist das Resultat einer
direkten Wechselwirkung der beiden Turbulenzmechanismen. Erste, globale Simulationen (Fromang
et al. 2004; Fromang 2005) deuteten darauf hin, dass beide Instabilitäten gleichzeitig auftreten
können, wobei MRI das Erscheinungsbild der GI beeinflussen kann. Neuere, lokale Simulationen
(Riols & Latter 2018a; Riols & Latter 2019) deuten darauf hin, dass MRI von der GI unterdrückt
werden könnte, wobei GI selbst zu einem Dynamoprozess führt. Dynamoaktivität in GI-Turbulenz
wurde in vielen aktuellen Simulationen beobachtet (Riols & Latter 2018a; Riols & Latter 2019;
Deng, Mayer, & Latter 2020; Riols et al. 2021; Béthune & Latter 2022), einschließlich der hier
dargestellten Arbeiten, LP22 und LP23. Dabei geht die Arbeit LP22 detaillierter auf die Möglichkeit
einer direkten Koexistenz zwischen GI und MRI ein, wobei ein wesentliches Resultat darin besteht,
dass eine Koexistenz möglich ist. LP22 wird im folgenden Absatz kurz vorgestellt.
Die Simulationen in der ersten Arbeit, LPK20, sind rein hydrodynamisch und zudem zweidimensional.
Für reine GI-Rechnungen kann das von Vorteil sein und erhebliche Ressourcen-Einsparungen
bei den Simulationen bewirken. Allerdings sind die typischen MRI-Längenskalen kleiner als die
typischen GI-Skalen und relevante Dynamik kann auch auf der mittleren Diskhöhe erfolgen. Daher
wird das Modell in LP22 auf eine dreidimensionale Shearing-Box Anordnung erweitert, wobei für die
Simulationen dann der MHD-Code Athena verwendet wird. Ausgangspunkt sind MHD-Simulationen
reiner GI, mit verschwindendem Magnetfeld. Anschließend wird ein schwaches Magnetfeld, mit
verschwindendem Netto-Fluss (zero-net-flux oder ZNF), in den reinen GI-Zustand eingebettet. Eine
wesentliche Schlussfolgerung ist, dass die daraus resultierenden, saturierten Zustsände konsistent
sind, mit einer Koexistenz von GI und MRI. Die beobachteten, turbulenten Spannungen können
konsistent in Beiträge von GI und MRI zerlegt werden. In allen Fällen liegt das Verhältnis aus der
Maxwell-Spannung und dem magnetischen Druck, −2<B_x B_y>/<|B|^2>, im (0.3 − 0.4)-Intervall, was
genau dem MRI-typischen Wertebereich entspricht (siehe z.B. Hawley, Gammie, & Balbus 1995;
Blackman, Penna, & Varnière 2008; Simon, Hawley, & Beckwith 2011; Hawley, Guan, & Krolik
2011; Salvesen et al. 2016). Zudem wird beobachtet, dass die horizontal gemittelte, magnetische
Feldkomponente, By, als Funktion von der Höhe über der Disk-Mittelebene, zeitliche Oszillationen
entwickelt. Letztere ähneln den Butterfly-Diagrammen, die häufig in MRI-Simulationen beobachtet
werden (siehe z.B. Miller & Stone 2000; Turner 2004; Hirose, Krolik, & Stone 2006; Shi, Krolik,
& Hirose 2010; Simon, Beckwith, & Armitage 2012; Salvesen et al. 2016). Die letztgenannten
Resultate beziehen sich zumeist auf die saturierte Phase der Simulationen. Durch die niedrige,
initiale Feldstärke ist MRI, direkt nach Einführung des Feldes, nicht aufgelöst, was sich durch einen
niedrigen Quality-Faktor Q_mri (siehe z.B. Noble, Krolik, & Hawley 2010), ausdrückt. Dennoch wird
eine anfängliche Feldverstärkung beobachtet, was darauf hindeutet, dass GI als Dynamo wirken
kann. Für den saturierten Zustand wird gezeigt, dass die beobachteten Feldoszillationen konsistent
sind, mit einem α-Ω-Dynamo-Mechanismus. Die exakten Dynamoparameter können dabei vom
Abstand zur Disk-Mittelebene abhängen.
Die dritte Arbeit, LP23, ist ein Folgeartikel zu LP22. Ein wesentlicher Teil der Arbeit besteht
darin, den Einfluss der GI-Stärke auf den Zustand von GI-MRI-Koexistenz zu testen. Die GIStärke
wird dabei kontrolliert durch Variieren des Modells für Strahlungs-Kühlung (Heizung).
Dabei ist zu beachten, dass GI durch thermische Selbstregulierung saturiert (Gammie 2001),
wobei die turbulente Aufheizung ausgeglichen wird durch die Kühlung. Daher kann, je nach Effizienz der Kühlung, die stärke von GI variieren. Alle getesteten Fälle, außer dem Fall mit der
stärksten GI-Aktivität, sind konsistent mit GI-MRI-Koexistenz. Obwohl die GI-Aktvität signifikant
variieren kann, führen alle Simulationen zu relativ ähnlichen Maxwellspannungen. Insbesondere
das Verhältnis aus Maxwellspannung und magnetischem Druck ist konstant im MRI-typischen
Intervall, wogegen die GI-Aktivität um den Faktor Zwei variiert. Alle Simulationen, ausgenommen
der Fall mit der stärksten GI-Aktivität, entwickeln ein Butterfly-Diagramm im saturierten Zustand.
In dem Fall mit der stärksten GI-Aktivität entsteht ein weniger ausgeprägtes, weniger reguläres
Butterfly-Diagramm. Die horizontal gemittelten electro-motive-forces (EMFs) und magnetischen
Feldkomponenten, als Funktion der Höhe über der Mittelebene, sind weitestgehend konsistent mit
einer Superposition aus GI und MRI, wobei auch hier die Übereinstimmung für den Fall mit der
stärksten GI am geringsten ist. Die letztgenannten Simulationen beziehen sich auf den Grenzfall
idealer MHD. In realistischen Akkretionsscheiben, insbesondere in PPDs, können, als Folge geringer
Ionisation, nicht-ideale Effekte relevant sein (siehe z.B. Armitage 2011). Die Entwicklung von
MRI, in nicht-idealen Regimen, wurde in einer vielzahl von Simulationen untersucht, wobei ein
wesentliches Resultat darin besteht, dass MRI nicht in allen Fällen auftreten kann. Der einfachste
nicht-ideale Effekt is Ohm’sche Dissipation. Ähnlich der hydrodynamischen Reynolds-Zahl, Re,
kann eine magnetohydrodynamische Reynolds-Zahl, Rm, definiert werden, indem die Viskosität
durch den spezifischen Ohm’schen Widerstand ersetzt wird. Wenn Rm zu klein gewählt wird, kann
MRI stark geschwächt oder ganz unterdrückt werden (siehe z.B. Sano & Stone 2002; Ziegler &
Rüdiger 2001; Simon & Hawley 2009; Simon, Hawley, & Beckwith 2011). Daher wird in LP23 die
Möglichkeit von GI-MRI-Koexistenz, mit zusätzlicher Ohm’scher Dissipation, untersucht. Wird
Rm klein genug gewählt, entwickelt sich ein neuer, nichtlinearer Zustand, der qualitativ von GIMRI-
Koexistenz abweicht. In dem neuen Zustand werden höhere magnetische Feldstärken erreicht,
was ebenfalls darauf hinweist, dass GI als Dynamo wirken kann. Zeitliche Oszillationen treten
hier ebenfalls auf, allerdings bleiben Polaritätswechsel des Magnetfeldes aus. Im Gegensatz zu
den Butterfly-Diagrammen entstehen die Oszillationen hier durch periodisches Quenchen und
Wiederanwachsen von GI. Das GI-Quenching resultiert als Folge der signifikanten Produktion von
thermischer Energie (Heizung) durch die Ohm’sche Dissipation von magnetischer Energie. Ein
qualitativer Übergang findet bei magnetischen Reynoldszahlen von Rm ~ 500 statt. Größere Werte
führen zu Zuständen die Ähnlichkeiten mit dem idealen MHD Fall stärkster GI-Aktivität haben.

Further data

Item Type: Doctoral thesis
Keywords: Accretion disks; gravitoturbulence; magneto-rotational instability
Institutions of the University: Faculties > Faculty of Mathematics, Physics und Computer Science > Department of Physics > Chair Theoretical Physics V
Faculties > Faculty of Mathematics, Physics und Computer Science > Department of Physics > Chair Theoretical Physics V > Chair Theoretical Physics V - Univ.-Prof. Dr. Arthur Peeters
Graduate Schools > University of Bayreuth Graduate School
Faculties > Faculty of Mathematics, Physics und Computer Science
Faculties > Faculty of Mathematics, Physics und Computer Science > Department of Physics
Graduate Schools
Result of work at the UBT: Yes
DDC Subjects: 500 Science > 530 Physics
Date Deposited: 04 Nov 2023 22:36
Last Modified: 04 Nov 2023 22:36