Moderate, large, and superlarge Deviations for extremal Eigenvalues of unitarily invariant Ensembles

Titelangaben

Schüler, Katharina:
Moderate, large, and superlarge Deviations for extremal Eigenvalues of unitarily invariant Ensembles.
Bayreuth , 2015 . - 102 S.
( Dissertation, 2015 , Universität Bayreuth, Bayreuther Graduiertenschule für Mathematik und Naturwissenschaften - BayNAT)

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Abstract

A celebrated result in Random Matrix Theory is that the distribution of the largest eigenvalue of the Gaussian Unitary Ensemble converges (after appropriate rescaling) to the Tracy-Widom distribution if the matrix dimension N tends to infinity. The interest in this distribution rose even more when it turned out that it appears not only in the description of extremal eigenvalues for a large class of matrix ensembles but also provides the limit law for a variety of stochastic quantities in statistical mechanics. This phenomenon is called universality in Random Matrix Theory.
It should be noted that the Tracy-Widom Law describes the distribution of the largest eigenvalue only in a neighborhood of its mean that has a size of order N^(-2/3). As the main result of this thesis we provide a complete leading order description with uniform error bounds for the upper tail of the distribution of the largest eigenvalue beyond the Tracy-Widom regime. In addition, we are not only concerned with the Gaussian Unitary Ensemble. Our results apply to unitarily invariant ensembles whose probability measure is parameterized by potentials in the class of real analytic and strictly convex functions. According to standard notation in stochastics, we study the upper tail in the regimes of moderate, large, and superlarge deviations. Our results are new except for a small region in the regime of moderate deviations of size (log (N)/N)^(2/3) that were proved by Choup and by Deift et al. They allow in particular to identify precisely the range of universality of the distribution of the largest eigenvalue. Moreover, we strengthen previous large deviations results of Anderson et al., Johansson, and Ledoux et al. In order to obtain our results on the distribution of the largest eigenvalue, we use the Orthogonal Polynomial method for unitarily invariant ensembles. The asymptotic analysis of the relevant Orthogonal Polynomials is then performed by the Riemann-Hilbert approach introduced by Deift et al. On a technical level our results are based on a new leading order description of the Christoffel-Darboux kernel in the region of exponential decay.
Hereby we show in particular how the rate function, known from the theory of large deviations, is related to the Airy kernel that is usually used for the description in the Tracy-Widom regime as well as in the moderate regime.
Some of our main results have been announced in joint work with Thomas Kriecherbauer, Kristina Schubert, and Martin Venker. In that paper a number of results of this thesis has been used in a slightly more general context.

Abstract in weiterer Sprache

In der Theorie der Zufallsmatrizen war es eine bahnbrechende Erkenntnis, dass die Verteilung des größten Eigenwerts des Gaußschen unitären Ensembles (nach geeigneter Skalierung) gegen die Tracy-Widom-Verteilung konvergiert, sofern die Matrixdimension N gegen unendlich strebt. Diese Verteilung rief ein noch größeres Interesse hervor, nachdem sich herausgestellt hatte, dass sie sich nicht nur in der Beschreibung extremaler Eigenwerte einer großen Klasse von Matrix-Ensembles wiederfindet, sondern auch den Grenzwert für diverse stochastische Größen in der statistischen Mechanik darstellt. Dieses Phänomen wird in der Theorie zufälliger Matrizen als Universalität bezeichnet.
Durch das Tracy-Widom-Gesetz wird die Verteilung des größten Eigenwerts jedoch nur in einer Umgebung der Größenordnung N^(-2/3) um seinen Erwartungswert beschrieben. Als Hauptresultat dieser Arbeit geben wir den führenden Term in der Asymptotik des upper tails der Verteilung des größten Eigenwerts an, wobei die Fehlerschranken außerhalb des Tracy-Widom-Bereichs gleichmäßig sind. Zudem beschäftigen wir uns nicht nur mit dem Gaußschen unitären Ensemble; unsere Ergebnisse gelten vielmehr für unitär-invariante Ensembles, deren Wahrscheinlichkeitsmaß durch Potentiale aus der Klasse reell analytischer und streng konvexer Funktionen parametrisiert wird. Den Standardnotationen der Stochastik folgend untersuchen wir den upper tail in den Bereichen der moderaten, großen und sehr großen Abweichungen. Bis auf Resultate in einem kleinen Bereich innerhalb der moderaten Abweichungen von der Größenordnung (log (N)/N)^(2/3), die von Choup und von Deift et al. bewiesen wurden, sind unsere Ergebnisse neu. Insbesondere ermöglichen sie es, die exakte Reichweite der Universalität der Verteilung des größten Eigenwerts herzuleiten. Ferner erweitern wir bisherige Erkenntnisse über große Abweichungen von Anderson et al., Johansson und Ledoux et al. Um Resultate zur Verteilung des größten Eigenwerts zu erzielen, verwenden wir die Methode orthogonaler Polynome für unitär-invariante Ensembles. Für die asymptotische Analyse der relevanten orthogonalen Polynome bedienen wir uns eines Riemann-Hilbert-Ansatzes, der von Deift et al. eingeführt wurde. Technisch betrachtet basieren unsere Ergebnisse auf einer neuen Bestimmung des führenden Terms in der Asymptotik des Christoffel-Darboux-Kerns in der Region von exponentiellem Abfall. Hierbei zeigen wir insbesondere, wie die aus der Theorie der großen Abweichungen bekannte Ratenfunktion mit dem Airy-Kern zusammenhängt, der für gewöhnlich sowohl im Tracy-Widom-Bereich als auch im moderaten Bereich für die Darstellung verwendet wird.
Einige Resultate wurden bereits in Zusammenarbeit mit Thomas Kriecherbauer, Kristina Schubert und Martin Venker veröffentlicht. In dem entsprechenden Paper werden mehrere Ergebnisse aus der vorliegenden Arbeit in einem etwas allgemeineren Kontext verwendet.