On a Prototype of an Optimal Control Problem Governed by Ordinary and Partial Differential Equations

Titelangaben

Wendl, Stefan:
On a Prototype of an Optimal Control Problem Governed by Ordinary and Partial Differential Equations.
Bayreuth , 2014 . - VIII, 91 S.
( Dissertation, 2014 , Universität Bayreuth, Fakultät für Mathematik, Physik und Informatik)

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Abstract

Diese Arbeit befasst sich mit Optimalsteuerungsproblemen, welche sowohl gewöhnliche als auch partielle Differentialgleichungen als Nebenbedingungen aufweisen.
Da es sich hierbei um ein noch vergleichsweise unerforschtes mathematisches Gebiet handelt, beschränkt sich die Arbeit auf das Erstellen und Analysieren eines
Beispielprototyps, welcher im Folgenden ''Hypersonisches Rocketcar-Problem`` genannt wird.

Zusätzlich beinhaltet dieses Prototypproblem noch Steuerungs- sowie Zustandsbeschränkungen, wobei der mathematische Fokus auf Letzteren liegen wird. Gemeinsam mit
den beiden oben erwähnten Arten von Differentialgleichungsnebenbedingungen werden diese zu einigen neuen Effekten führen, welche nach Kenntnis der Autors bis jetzt
weder in der Optimalsteuerung mit gewöhnlichen noch mit partiellen Differentialgleichungen aufgetreten sind.

Kapitel 1 beinhaltet eine ausführliche Beschreibung des besagten Beispielprototyps sowie seine Entstehung durch Erweiterung eines bekannten Modellproblems aus den
frühen Tagen der Optimalsteuerung gewöhnlicher Differentialgleichungen.

Im 2. Kapitel wird zunächst die Lösung des nicht zustandsbeschränkten Rocketcars hergeleitet, welche eine Vergleichsbasis mit den Endergebnissen bilden wird. Einige
dieser Ergebnisse werden wir in Kapitel 3 schon versuchen vorwegzunehmen, indem wird die Schaltstruktur des kompletten Problems analysieren. An dieser Stelle werden
wir auf die bereits erwähnten neuen Effekte der Optimalsteuerung mit gewöhnlichen und partiellen Differentialgleichungen treffen.

Notwendige Optimalitätsbedingungen erster Ordnung werden in Kapitel 4 kurz hergeleitet. Dabei werden wir sehen, dass das Rocketcar nicht nur als
Optimalsteuerungsproblem mit gewöhnlichen und partiellen Differentialgleichungen interpretiert werden kann, sondern auch in eines mit nur gewöhnlichen oder nur partiellen
umformuliert werden kann. Diese beiden Alternativversionen werden allerdings keine "Standardvertreter'' ihrer jeweiligen Art sein. Nichtsdestotrotz wird sich daraus
natürlich eine hervorragende Gelegenheit zum Vergleich dieser 3 Gebiete der Optimal- steuerung ergeben.

Das Hauptkapitel Nummer 5 beinhaltet schliesslich alle numerischen Aspekte: das Lösen des Rocketcar-Problems durch eine direkte (erst diskretisieren, dann optimieren)
Methode sowie der Vergleich mit den vorher hergeleiteten Resultaten von Kapitel 3, die numerische Verifikation der Optimalitätsbedingungen aus Kapitel 4, sowie das
erneute (und wesentlich anspruchsvollere) Lösen mit einer indirekten (erst optimieren, dann diskretisieren) Methode. Zusätzlich wird noch auf die Verbindungen
zwischen den Optimalitätsbedingungen der 3 verschiedenen Versionen eingegangen.

Abstract in weiterer Sprache

This thesis is concerned with optimal control problems governed by a system of partial as well as ordinary differential equations. As this is yet a relatively
untouched field of mathematical research, the limited scope here was to get first insights by creating and studying an academical prototype example in the following
dubbed the ``hypersonic rocketcar problem``.

Additionally, this prototype also features control as well as state constraints, with the mathematical focus being on the latter ones. In conjunction with the
two different kinds of differential equations those will lead to some new effects that, to the authors knowledge, have so far not been witnessed in optimal control
of either ordinary or partial differential equations.

The first chapter will describe said prototype problem in details as well as motivate its creation by expanding a classical problem from the pioneering days of
optimal control of ordinary differential equations.

Chapter 2 will expand a bit on the rocketcar's state-unconstrained solution to form a base for comparison with the final results, while the third chapter will try
to anticipate some of those by analysis of the switching structure of the full blown version. Here we will also encounter the new aspects of optimal
control problems with ordinary and partial differential equations mentioned above.

Necessary first order optimality conditions will be briefly sketched in chapter 4. As we will see there, the rocketcar can not just be interpreted as an optimal
control problem with both ordinary and partial differential equations, but can also be reformulated into one with either just ordinary or just partial differential
equations, albeit those reformulations will lead to highly nonstandard versions of their respective kind. Nevertheless this will naturally be a good opportunity for
comparison between those 3 related fields of optimal control.

The last and most important chapter number 5 will deal with all the numerical aspects,
i.e. solving the optimal control problem via a direct (first discretize, then optimize) method and a subsequent comparison to the results derived beforehand,
the approximate verification of the optimality conditions from the previous chapter and finally the much more demanding solving of the problem with an indirect
(first optimize, then discretize) method. In addition the 3 sets of necessary conditions of the aforementioned different versions of the problem will of course be
matched and cross-referenced.