Beiträge zur Optimalen Steuerung partiell-differential algebraischer Gleichungen

Titelangaben

Rund, Armin:
Beiträge zur Optimalen Steuerung partiell-differential algebraischer Gleichungen.
Bayreuth , 2012 . - XI, 205 S.
( Dissertation, 2012 , Universität Bayreuth, Fakultät für Mathematik, Physik und Informatik)

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Abstract

Diese Arbeit liefert Beiträge zur Optimalen Steuerung partiell-differential algebraischer Gleichungen. Insbesondere werden Zustandsbeschränkungen bei der Optimalen Steuerung gewöhnlicher und partieller Differentialgleichungen sowie gekoppelter Systeme untersucht. Die verschiedenen Konzepte dieser Gebiete werden verglichen, übertragen und eingeordnet. Zentrale Ergebnisse sind die Übertragung der notwendigen Bedingungen nach Bryson, Denham und Dreyfus auf elliptische Optimalsteuerungsprobleme mit punktweisen Zustandsbeschränkungen, die Übertragung von Sprungbedingungen und Maßdarstellungen auf ein ODE-PDE beschränktes Optimalsteuerungsproblem mit Zustandsbeschränkungen bei niederdimensionalen aktiven Mengen, sowie die Entwicklung effizienter numerischer Methoden für komplexe Anwendungsprobleme. Die Beiträge dieser Arbeit gliedern sich in vier Kapitel, deren Aspekte jeweils zusammengefasst werden: Zunächst werden die Grundlagen aus der Optimalen Steuerung gewöhnlicher Differentialgleichungen mit Zustandsbeschränkungen wiederholt. Die beiden geläufigen notwendigen Bedingungen nach Jacobson, Lele und Speyer, sowie nach Bryson, Denham und Dreyfus (BDD-Ansatz) werden erläutert und in den Zusammenhang der Optimalen Steuerung partieller Differentialgleichungen gestellt. Dabei wird der Zusammenhang zwischen den Sprungbedingungen und dem Borel-Maß hergestellt. In Kapitel 2 wird der BDD-Ansatz auf ein Optimalsteuerungsproblem einer elliptischen partiellen Differentialgleichung mit punktweisen Zustandsbeschränkungen und verteilten aktiven Mengen übertragen. Die Idee dieses BDD-Ansatzes ist es, die Zustandsbeschränkung auf der aktiven Menge äquivalent in eine Steuerungs-Zustandsbeschränkung oder ggf. eine reine Steuerungsbeschränkung zu transformieren. Dies erlaubt die Herleitung neuer notwendiger Bedingungen. Durch die Transformation der Zustandsbeschränkungen gewinnen die zugehörigen Lagrange-Multiplikatoren an Regularität. Man erhält aus den neuen notwendigen Bedingungen ein Randwertproblem auf verschiedenen Gebieten mit Übergangsbedingungen. Das Interface zwischen den verschiedenen Gebieten stellt eine Optimierungsvariable dar. Eine notwendige Bedingung am Interface wird mit Techniken der Shapeoptimierung hergeleitet. Das Kapitel 3 behandelt Zustandsbeschränkungen bei gemischten ODE-PDE Problemen: Anhand eines zeitabhängigen Anwendungsproblems - des sogenannten Rocketcars - lässt sich eine vollständige Darstellung des Borel-Maßes auf niederdimensionalen aktiven Mengen angeben. In der Folge lassen sich Sprungbedingungen und weitgehende Regularitätsaussagen herleiten. Die explizite Massdarstellung ermöglicht weiterhin die Formulierung als Mehrpunkt-Anfangsrandwertproblem und den Einsatz angepasster Lösungsmethoden. Kapitel 4 widmet sich schließlich einem komplexen Anwendungsproblem eines OC-PDAE: Ein Brennstoffzellenmodell stellt uns vor ein Optimalsteuerungsproblem eines Systems von partiell-differentiell algebraischen Gleichungen. Es werden notwendige Bedingungen hergeleitet und direkte sowie indirekte (adjungierten-basierte) Methoden der Optimalen Steuerung entwickelt und verglichen. Numerische Experimente bestätigen die Effizienz der vorgestellten Methoden. Insbesondere das indirekte Quasi-Newton-Verfahren erlaubt eine zeitadaptive optimale Steuerung der Brennstoffzellenanlage mit hoher Genauigkeit und unter geringer Rechenzeit.

Abstract in weiterer Sprache

The thesis is concerned with optimal control problems of coupled systems of partial differential algebraic equations. In order to investigate (pointwise) state constraints, a bridge is built from optimal control problems of ordinary differential equations (ODE) to optimal control problems of partial differential equations (PDE). Different concepts of both fields are discussed and applied to optimal control problems with coupled systems of equations. Major contributions are the derivation of new necessary conditions for elliptic control problems with pointwise state constraints, the transfer of jump conditions to state-constrained ODE-PDE control problems via a structural analysis of the measures associated with state constraints with active sets of measure zero, and finally the development of efficient numerical methods for the solution of complicated optimal control problems from real-life applications. The first chapter outlines the background of optimal control of ODE with state constraints. The two major sets of necessary conditions are discussed, the one of Jacobson, Lele and Speyer, as well as the one of Bryson, Denham and Dreyfus (BDD ansatz). In building the bridge from ODE to PDE control theory, connections between the jump conditions and the Borel measure are shown. The second chapter transfers the BDD ansatz to an elliptic control problem with pointwise state constraints. The idea is to transform the state constraints on the active set equivalently into a mixed control-state constraint or even a pure control constraint. This yields new necessary conditions with more regular multipliers. The optimality system is treated as a boundary value problem on different domains with junction conditions. Therefore, the interface in between the different domains is an additional optimization variable. A necessary condition at the interface is derived by technics from shape optimization. Chapter three is devoted to state constraints in mixed instationary ODE-PDE control problems. For the so-called rocketcar problem, an explicit formula for the Borel measure is given on active sets of measure zero. This allows the derivation of jump conditions and enhanced regularity theorems. Numerical results confirm the derived conditions. Finally, an involved fuel cell model gives rise to an optimal control problem with partial differential algebraic equations and control constraints. The aim is to develop efficient methods for solving such problems. Therefore, necessary conditions are derived and direct as well as indirect (adjoint-based) methods of optimal control are designed and compared. Numerical studies confirm the efficiency of the methods. In particular, the indirect quasi-Newton method allows for a time adaptive optimal control of the fuel cell system with high accuracy and low computational effort.