Zeitabhängige optimale Steuerung der Wärmeleitungsgleichung mit Zustandsbeschränkungen : mit Anwendung im Laserstrahlschmelzen

Titelangaben

Bechmann, Simon:
Zeitabhängige optimale Steuerung der Wärmeleitungsgleichung mit Zustandsbeschränkungen : mit Anwendung im Laserstrahlschmelzen.
Bayreuth , 2017 . - X, 115 S.
( Dissertation, 2017 , Universität Bayreuth, Fakultät für Mathematik, Physik und Informatik)

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Abstract

In dieser Arbeit werden zustandsbeschränkte Optimalsteuerungsprobleme der Wärmeleitungsgleichung betrachtet. Die untersuchten Probleme weisen dabei eine spezielle Struktur auf: Die Steuerung in der rechten Seite der Wärmeleitungsgleichung und die Zustandsbeschränkung sind rein zeitabhängig. Diese besondere Struktur kann vielfach genutzt werden.
Im Theorieteil dieser Arbeit werden Regularitätsaussagen für die Lösungen der Optimalsteuerungsprobleme hergeleitet. Unter Verwendung der Technik des alternativen Optimalitätssystems kann die Stetigkeit der optimalen Steuerung für Probleme, in denen die zeitabhängige Zustandsbeschränkung aus einem ortsintegralen Term besteht, bewiesen werden, wenn die im Modell vorgegebenen Daten hinreichend regulär gewählt sind. Mit weiteren Annahmen an die Daten erhält man die absolute Stetigkeit der optimalen
Steuerung auf Teilintervallen und eine höhere Regularität des Lagrange-Multiplikators zur Zustandsbeschränkung. In weiteren Untersuchungen wird die Technik des alternativen Optimalitätssystems angepasst und weiterentwickelt. So kann die Stetigkeit der optimalen Steuerung auch für Probleme nachgewiesen werden, bei denen die Daten in der Zustandsbeschränkung im Ort irregulär gewählt sind. Es können sogar allgemeinere Probleme mit rein zeitabhängigen Zustandsbeschränkungen in Operatorform betrachtet werden. Als Beispiel kann die Stetigkeit der optimalen Steuerung bei Problemen mit punktweiser Beschränkung des Zustands an einem fest vorgegebenen Ortspunkt gezeigt werden. Dies erlaubt es, eine interessante Schlussfolgerung für Optimalsteuerungsprobleme mit rein zeitabhängiger Steuerung und punktweiser Zustandsbeschränkung in Ort und Zeit zu ziehen.
Im Algorithmen- und Numerikteil dieser Arbeit wird ein neuer Optimierungsalgorithmus für die betrachteten Optimalsteuerungsprobleme entwickelt. Dieser Algorithmus stellt eine Erweiterung der primal-dualen aktive-Mengen-Strategie für diskretisierte zustandsbeschränkte Optimalsteuerungsprobleme nach Bergounioux und Kunisch dar.
Zusätzlich fließen Ideen von Mehrfachschießverfahren, die bei der optimalen Steuerung gewöhnlicher Differentialgleichungen genutzt werden, ein. Die Leistungsfähigkeit des Algorithmus wird anhand mehrerer Modellprobleme getestet. Für reguläre Probleme zeigt sich eine Gitterunabhängigkeit des Verfahrens. Bei anspruchsvolleren Problemen mit
noch stetiger optimaler Steuerung erhält man bei feinerer Diskretisierung eine moderate Erhöhung der Anzahl an Iterationen des Verfahrens. Insgesamt schlägt sich der Algorithmus typischerweise besser als die primal-duale aktive-Mengen-Strategie oder die aktive-Mengen-Strategie in Matlab. Allerdings sollte an dieser Stelle beachtet werden, dass das im Rahmen der Arbeit neu entwickelte Verfahren und die primal-duale aktive-
Mengen-Strategie bei Modellproblemen mit Zustandsbeschränkungen der Ordnung größer eins Konvergenzprobleme haben. Hinsichtlich der Resultate aus dem Theoriekapitel dieser Arbeit kann mithilfe der numerischen Ergebnisse gezeigt werden, dass die dort getroffenen Aussagen scharf zu sein scheinen, wenn das Gesamtintervall betrachtet wird. Andererseits sollten aber bei Problemen mit regulären Daten bessere Regularitätsaussagen auf Teilintervallen möglich sein. Der letzte Teil der Arbeit widmet sich der optimalen Steuerung der Leistung des Lasers
beim Laserstrahlschmelzen. Ein neu entwickeltes Modell beschreibt die Temperaturverteilung im Werkstück in Situationen, in denen der Laser einen Mäander am Rand eines Islands abfährt. Basierend auf diesem Modell können linear-quadratische Optimierungsprobleme zur Berechnung optimaler Steuerungsstrategien formuliert werden. Wegen zusätzlicher Beschränkungen kann der in dieser Arbeit neu entwickelte Algorithmus nicht zum Lösen der Probleme eingesetzt werden. Er wird deshalb ersetzt durch die quadprog Routine in Matlab. Die berechneten Strategien zur Anpassung der Leistung des Lasers werden auf den Maschinen zum 3D-Druck metallischer Bauteile getestet. Es stellt sich heraus, dass die Strategie, die die Leistung des Lasers nicht nur bei der Querfahrt im Mäander am Rande eines Islands, sondern auch auf einer kurzen Strecke zurück ins Innere des Bauteils absenkt, eine signifikante Verbesserung des Schmelzbildes mit sich bringt. Folglich kann auch eine bessere Oberflächenstruktur des Werkstücks erreicht werden.

Abstract in weiterer Sprache

In this thesis state constrained optimal control problems of the heat equation are considered. The investigated problems possess a special structure. The control in the right hand side of the heat equation and the state constraint are only time-dependent. This special structure can be used several times. In the theoretical part of this work regularity results for the solutions of the optimal control problems are shown. Using the technique of alternative optimality systems, the continuity of the optimal control in situations in which the state constraint consists of a time-dependent spatially integrated term can be proven, if the data in the problems are chosen regularly enough. Under additional assumptions on the data the absolute continuity of the optimal control on subintervals and higher regularity of the Lagrange multiplier of the state constraint are obtained. In further investigations the technique of alternative optimality systems is adapted and enhanced. This allows to prove the continuity of the optimal control for problems with higher spatial irregularity of the data in the state constraint. Even problems with time-dependent state constraints formulated
with a general linear continuous operator can be considered. As an example the continuity of the optimal control for problems with a pointwise state constraint at a fixed point in space can be shown. This has some interesting consequences for optimal control problems with time-dependent controls and pointwise state constraints in space and time. In the algorithmic and numerics part of this thesis a new optimization algorithm for the considered problem class is developed. This algorithm is an extension of the primal-dual active set strategy for discretized state constrained optimal control problems by Bergounioux and Kunisch. Additionally, ideas of multiple shooting algorithms, which are used for the optimal control of ordinary differential equations, are incorporated. The performance of the algorithm is tested on several examples. Mesh independence for regular problems and moderate mesh dependence for more sophisticated problems with still continuous optimal control are obtained. Overall, the algorithm performs typically better than the primal-dual active set strategy or the active set strategy in Matlab. However, it should be noted that the newly developed algorithm and the primal-dual active set strategy exhibit convergence problems for problems with state constraints oforder greater than one. With regard to the findings in the theoretical part of this work the numerical results show that the derived propositions seem to be precise, if the total
interval is considered. On the other hand, better regularity results on subintervals for problems with regular data should be possible.
The last part of the thesis is devoted to the optimal control of the power of a laser during the laser melting process. A newly developed model describes the temperature distribution in the workpiece in situations in which the laser moves through the turning point in a meander at the boundary of an island. Based on this model linear quadratic optimization problems are formulated. With these problems optimal strategies for the adjustment of the power of the laser can be computed. Due to additional constraints, the newly developed algorithm of this thesis cannot be used. Therefore, the algorithm is replaced by the Matlab quadprog routine. The resulting strategies are tested on metal 3D printing machines. It turns out that the strategy that reduces the power of the laser not only during the transverse motion in the meander at the boundary of an island, but also on a short way backwards to the interior brings about significant improvements in the melt structure. In consequence, better quality of the surface of the workpiece can be achieved.