The stability of gravity-driven viscous films over topography

Titelangaben

Schörner, Mario:
The stability of gravity-driven viscous films over topography.
Bayreuth , 2018 . - 124 S.
( Dissertation, 2018 , Universität Bayreuth, Fakultät für Ingenieurwissenschaften)

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Abstract

The gravity-driven flow of a viscous film over an inclined surface is a fundamental problem in fluid mechanics. This type of flow serves as a model to catch the physics behind a wide range of technical and environmental processes which silently affect our lives. The most simplified case of this basic hydrodynamic configuration is the flow of a viscous film over an infinitely extended and perfectly flat substrate, which even has an exact analytical solution. However, in the real world, the substrates on which the films move are frequently rough -- either intentionally or accidentally. The great challenge arises that, in general, the flows over such inclined topographies cannot be calculated analytically from the Navier-Stokes equations. The interaction between the underlying topography and the fluid layer results in a complicated dynamical behavior and gives rise to, e.g., the formation of eddies in the troughs and resonant standing waves at the flow's free surface. As already small substrate defects can significantly affect the film flows, the requirement for predictable product and process properties in coating industries generated considerable interest in improving the understanding of the associated flow mechanisms.

Since the interface between the liquid and the surrounding gas is a deformable boundary, waves can appear spontaneously at the free surface if a critical volume flux is exceeded. These waves are the reaction of the system to disturbances, like external forcing or ambient noise, and grow or shrink on their way downstream. Dependent on the volume flux, the perturbation's frequency, and the interaction between the fluid and the topography a complicated topology of stable (waves are damped) and unstable (waves are amplified) flow regimes appears. In medical and semiconductor industries, where uniformly thin coatings are essential, the formation of these waves gives rise to great difficulties in the manufacturing processes. As a pure analytical treatment of the vast majority of these hydrodynamic systems is impossible today, thorough experimental investigations and comprehensive computational modelings are inalienable to improve the understanding of the associated flow mechanisms.

The present dissertation deals with the effects of different types of topographies on the free surface stability of gravity-driven viscous films. Comprehensive new experiments were combined with all existing analytical, numerical and experimental findings on this complex problem. That way, new flow phenomena were uncovered and attributed to the fundamental mechanisms which determine the flow dynamics. The aim of the present study was to characterize these results for the sake of unveiling a universally valid principle, being able to describe and unify all findings on the stability of gravity-driven viscous film flows.

The first step in order to unveil whether the above-mentioned universal principle indeed exists was to investigate whether the flows over different topographies can exhibit the same stability behavior, or whether all systems are intrinsically different in terms of their stability. A fundamental question arose from this thought: does the topography's specific shape matter in general for the linear stability of gravity-driven viscous films? In order to understand this complex problem, five topographies of different shapes (e.g., sinusoidal and rectangular), but equal amplitude, wavelength, and inclination against the horizontal were chosen as a model for the different types of rough substrates in real-world film flows. For each topography, the basic flow was characterized by measuring the flow field and the free surface contour. Experiments on the flow's linear stability followed. That way, insights into how the topography's specific shape can manipulate both the basic flow and the linear stability of gravity-driven films were obtained. In particular, as long as the steady-state free surface remained unchanged, modifications of the topography's specific shape were found to not affect the linear stability of this type of flow.

The subsequent parameter study went one step further in order to unveil the phenomena which are decisive for the flow's stability. In the experiments, the well-known Nusselt flow over a flat incline was asymptotically left, either by gradually increasing the amplitude of sinusoidal undulations or by decreasing the tip width of rectangular corrugations. Systematic variations of the channel's inclination, the fluid's viscosity and the topography's wavelength followed. That way, nontrivial stability charts and phenomena far beyond the Nusselt flow were revealed. For the sake of understanding these phenomena, the steady-state velocity fields of the respective flows were measured. This comprehensive approach provided the exceptional opportunity to unveil that the complex shape, which stability charts of films over inclined topographies exhibit, can be attributed to the simultaneous presence of stabilizing as well as destabilizing effects, both provoked by the topography. The stabilization of the flow due to an increased film thickness and the destabilization of the flow due to resonant standing waves were shown to be competing effects. Which effect dominates in this competition depends primarily on the amplitude, tip width, wavelength, and inclination of the topography and on the viscosity of the fluid.

The systematic parameter variations mentioned above uncovered a switching between different types of stability isles, i.e. between stable and unstable regions in the linear stability charts. This abrupt change of the flow's free surface stability was detected for all system parameters varied and gave rise to an intriguing question: Is there a universal principle, being valid to describe the parametric evolution of the flow's linear stability chart for variations of different system parameters? In search of an answer to this question, all experimental and numerical stability charts available in the literature were screened. New experiments were carried out only to fill the gaps which remained in the combined parameter space of all precedent work. Variations of the fluid's viscosity and the topography's specific shape, amplitude, wavelength, tip width and inclination were considered. That way, a set of six characteristic patterns of stability charts was identified to be sufficient and powerful enough to uniformly describe all available linear stability charts of two-dimensional Newtonian films flowing over periodically corrugated inclines. No counterexample was found, which did not fit to one of these six patterns. Based on these six stability patterns, a universal pathway - the 'stability cycle' - was unveiled, along which the linear stability charts of all considered films evolved when the system parameters were changed. The physical significance of the stability cycle is at hand, as it is a universal guide on how to tune the linear stability of viscous films in a way which is desired.

The characteristic stability chart patterns and the stability cycle were found to be valid for all two-dimensional Newtonian films, which are perturbed by linear free surface waves, and flowing down periodically undulated inclines. No contradicting observations are reported. Yet, it remained an open question whether similar phenomena can also be found for other systems like, e.g., non-Newtonian fluids, nonlinear waves, or three-dimensional channel flow with sidewalls. By briefly considering these three exemplary systems, the study presented in the last part of this thesis went beyond the linear stability of two-dimensional Newtonian films. New steady-state flow phenomena were uncovered with their potential effects on the flow's stability being discussed. Although an in-depth investigation of these systems is beyond the scope of this thesis, all results indicate that the characteristic stability chart patterns and the stability cycle are, with some restrictions, still valid beyond the linear stability of two-dimensional Newtonian films.

Abstract in weiterer Sprache

Die schwerkraftgetriebene Strömung eines viskosen Flüssigkeitsfilms über einen geneigten Untergrund ist ein fundamentales Problem der Strömungsmechanik. Diese Klasse von Strömungen dient als physikalisches Modell für eine Vielzahl von Prozessen in Natur und Technik, die ganz im Stillen unser aller Leben beeinflussen. Der einfachste Fall dieser hydrodynamischen Grundkonfiguration ist der Fluss eines viskosen Films über ein unendlich ausgedehntes und flaches Substrat, für den es sogar eine exakte analytische Lösung gibt. In der realen Welt sind die Böden, auf denen sich die Flüssigkeitsfilme bewegen, jedoch häufig rau - entweder aus Absicht oder durch Zufall. Es stellt eine große Herausforderung dar, dass die Strömung über derartige Topographien im Allgemeinen nicht mehr analytisch berechnet werden kann. Die Wechselwirkung zwischen der zugrunde liegenden Bodenstruktur und der darüber fließenden Flüssigkeitsschicht führt zu einer komplizierten Dynamik, die wiederum beispielsweise zu Wirbelbildung in den Mulden und zu stehenden Oberflächenwellen führt. Da bereits kleine Substratfehlstellen die Flüssigkeitsfilme sehr stark beeinflussen können, hat der Bedarf nach vorhersagbaren Produkt- und Prozesseigenschaften in der Beschichtungsindustrie ein erhebliches Interesse an einem besseren Verständnis der zugrunde liegenden Strömungsmechanismen hervorgerufen.

Die Grenzfläche zwischen der Flüssigkeit und dem sie umgebenden Gas stellt eine verformbare Grenze dar, an der es aufgrund von Trägheitseffekten bei Überschreitung eines kritischen Volumenstroms zur spontanen Bildung von stromabwärts laufenden Oberflächenwellen kommen kann. Diese Wellen sind die Reaktion des Systems auf Störungen, wie beispielsweise externe Anregungen oder das allgegenwärtige Umgebungsrauschen. Abhängig vom Volumenstrom, von der Frequenz der Störung und von der Wechselwirkung zwischen der Flüssigkeit und dem gewellten Boden tritt ein komplexes Gebilde aus stabilen (die Wellen werden gedämpft) und instabilen (die Wellen werden verstärkt) Strömungsgebieten auf. In der Medizin- und Halbleiterindustrie, wo es auf gleichmäßig dünne Beschichtungen ankommt, gehen mit der Bildung dieser Wellen allerdings große Schwierigkeiten in den Fertigungsprozessen einher. Da für die überwiegende Mehrheit dieser hydrodynamischen Systeme eine rein analytische Behandlung derzeit jedoch unmöglich ist, sind gründliche experimentelle Untersuchungen und umfassende computergestützte Modellierungen unabdingbar, um das Verständnis der zugrunde liegenden Mechanismen zu verbessern.

Die hier vorliegende Dissertation beschäftigt sich mit den Auswirkungen gewellter Substrate auf die Stabilität der freien Oberfläche schwerkraftgetriebener viskoser Filmströmungen. Umfassende neue Experimente wurden mit allen vorhandenen analytischen, numerischen und experimentellen Erkenntnissen über dieses komplexe Problem kombiniert. Auf diese Art und Weise wurden neue Strömungsphänomene entdeckt und fundamentalen Mechanismen zugeschrieben, welche die Dynamik der Strömung bestimmen. Ziel der vorliegenden Arbeit war es insbesondere, die so gewonnenen Ergebnisse zu charakterisieren, um ein allgemeingültiges Prinzip zu entwickeln, das alle Erkenntnisse über die Stabilität schwerkraftgetriebener viskoser Filmströmungen beschreiben und vereinheitlichen kann.

Der erste Schritt um herauszufinden, ob das oben genannte universelle Prinzip tatsächlich existiert, bestand darin zu untersuchen, ob Strömungen über verschiedenartig gewellte Böden überhaupt dasselbe Stabilitätsverhalten aufweisen können oder ob alle Systeme hinsichtlich ihrer Stabilität von sich aus verschieden sind. Aus dieser Überlegung heraus ergab sich eine grundlegende Frage: Ist die spezifische Form der Topographie im Allgemeinen für die lineare Stabilität schwerkraftgetriebener Filmströmungen von Bedeutung? Um dieses komplizierte Problem zu verstehen, wurden fünf Topographien unterschiedlicher Form (z.B. sinusförmig und rechteckig), aber gleicher Amplitude, Wellenlänge und Neigung gegenüber der Horizontalen als Modell für die verschiedenen Arten rauer Substrate, die in den Filmströmungen der realen Welt vorkommen können, gewählt. Für jede Topographie wurde die Grundströmung durch Messung sowohl des Strömungsfeldes als auch der Kontur der freien Flüssigkeitsoberfläche charakterisiert. Es folgten Experimente zur linearen Stabilität der Strömung. Auf diese Weise konnten Erkenntnisse darüber erzielt werden, wie die spezifische Form des gewellten Bodens sowohl die Grundströmung als auch die lineare Stabilität schwerkraftgetriebener Filmströmungen beeinflussen kann. Insbesondere konnte festgestellt werden, dass sich Änderungen der Topographieform nicht auf die lineare Stabilität dieser Art von Strömungen auswirken, solange die stationäre freie Oberfläche von diesen Veränderungen im Wesentlichen unbeeinflusst bleibt.

Die anschließende Parameterstudie ging noch einen Schritt weiter, um diejenigen Phänomene zu untersuchen, welche die Stabilität einer Filmströmung bestimmen. Dazu wurden Experimente durchgeführt, in denen die bekannte Nusselt-Strömung über eine flache geneigte Ebene asymptotisch verlassen wurde, indem entweder die Amplitude eines sinusförmigen Bodens stufenweise erhöht oder die Breite der Spitzen eines rechteckigen Bodens verringert wurde. Es folgten systematische Variationen der Kanalneigung, der Flüssigkeitsviskosität und der Wellenlänge der Bodentopographie. Auf diese Art und Weise kamen nicht-triviale Stabilitätskarten und Phänomene ans Licht, die sich stark von denen der Nusselt-Strömung unterschieden. Um diese Phänomene zu verstehen, wurden die Geschwindigkeitsfelder der zugehörigen stationären Strömungen gemessen. Durch diesen umfassenden Ansatz konnte belegt werden, dass die komplexe Form, welche die Stabilitätskarten von Filmströmungen über geneigten Topographien aufweisen, auf das gleichzeitige Vorhandensein stabilisierender und destabilisierender Topographieeffekte zurückzuführen ist. Die Stabilisierung der Strömung durch eine erhöhte Filmdicke und ihre Destabilisierung aufgrund der Resonanz der Strömung mit dem gewellten Boden erwiesen sich als konkurrierende Effekte. Welcher der beiden Effekte dominiert, hängt primär von der Amplitude, Spitzenbreite, Wellenlänge und Neigung des gewellten Bodens sowie von der Viskosität der Flüssigkeit ab.

Bei den oben genannten systematischen Parametervariationen konnte ein Hin- und Herschalten zwischen verschiedenen Arten von Stabilitätsinseln, d.h. zwischen abgeschlossenen stabilen und instabilen Bereichen in den linearen Stabilitätskarten, nachgewiesen werden. Diese Art der abrupten Änderung der Stabilität der freien Oberfläche konnte bei der Variation jedes untersuchten Systemparameters beobachtet werden, was zu einer weiteren interessanten Frage führte: Gibt es ein universelles Prinzip, das die parametrische Entwicklung der linearen Stabilitätskarte einer Filmströmung für die Veränderung mehrerer Systemparameter gleichermaßen beschreibt? Zur Beantwortung dieser Frage wurden alle in der Literatur verfügbaren experimentellen und numerischen Stabilitätskarten gesichtet. Die neu durchgeführten Experimente dienten ausschließlich dazu, die verbleibenden Lücken des kombinierten Parameterraums zu schließen. Es wurden die Viskosität der Flüssigkeit sowie die spezifische Form, Amplitude, Wellenlänge, Spitzenbreite und Neigung des Bodens variiert. Auf diese Art und Weise konnten sechs charakteristische Muster von Stabilitätskarten identifiziert werden, die in ihrer Gesamtheit ausreichend sind, um alle verfügbaren linearen Stabilitätskarten zweidimensionaler Newtonscher Filmströmungen, die schwerkraftgetrieben über gewellte Böden fließen, einheitlich zu beschreiben. Es wurde nicht ein einziges Gegenbeispiel gefunden, welches nicht durch eines dieser sechs Muster dargestellt werden konnte. Auf der Grundlage dieser Muster wurde ein universell gültiger Pfad - der Stabilitätszyklus - entdeckt, entlang dessen sich die linearen Stabilitätskarten aller untersuchten Filmströmungen entwickeln, wenn die im Rahmen dieser Arbeit betrachteten Systemparameter geändert werden. Die physikalische Bedeutung des Stabilitätszyklus liegt auf der Hand, denn er ist ein universeller Leitfaden dafür, wie die lineare Stabilität viskoser Filme derart modifiziert werden kann, dass sie den Anforderungen der jeweiligen Anwendung entspricht.

Die im Rahmen dieser Arbeit nachgewiesenen charakteristischen Stabilitätskartenmuster und der Stabilitätszyklus gelten für alle zweidimensionalen Newtonschen Filmströmungen, deren freie Oberfläche durch lineare Wellen gestört wird und die über periodisch gewellte, geneigte Böden fließen. Es gibt keinerlei Beobachtungen, die diese universelle Gültigkeit widerlegen. Dennoch bleibt die Frage offen, ob ähnliche Phänomene auch für andere Systeme, wie beispielsweise nicht-Newtonsche Flüssigkeiten, nichtlineare Wellen oder dreidimensionale Kanalströmungen mit Seitenwänden, gefunden werden können. Durch eine kurze Betrachtung dieser drei beispielhaften Systeme geht die hier vorliegende Arbeit über die lineare Stabilität zweidimensionaler Newtonscher Filme hinaus. Neue Phänomene wurden in den stationären Strömungen entdeckt und deren möglicher Einfluss auf die Stabilität der Strömung wurde kurz diskutiert. Obwohl eine tiefergehende Untersuchung dieser Systeme über den Rahmen dieser Arbeit hinausgehen würde, deuten alle bisherigen Ergebnisse darauf hin, dass sowohl die charakteristischen Stabilitätskartenmuster als auch der Stabilitätszyklus bis zu einem gewissen Grad über die lineare Stabilität zweidimensionaler Newtonscher Filmströmungen hinaus Gültigkeit besitzen.