On the stability of the gravity-driven viscous channel flow

Titelangaben

Kögel, Armin:
On the stability of the gravity-driven viscous channel flow.
Bayreuth , 2020 . - 101 S.
( Dissertation, 2020 , Universität Bayreuth, Fakultät für Ingenieurwissenschaften)
DOI: https://doi.org/10.15495/EPub_UBT_00004998

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Abstract

Gravity-driven viscous film flow is a classic problem in fluid mechanics. It represents a simplified model for a variety of technical and natural systems. In the simplest example, the plane film flow over an inclined plane of infinite extent, both the stationary solution - known as Nusselt flow - and the primary instability can be determined by simple means from the Navier-Stokes equations.

The Nusselt flow with its parabolic velocity profile offers a good estimate of flow behavior in real systems, i.e. it is possible to predict both the stationary flow and its instability. The latter is often of great interest, particularly for technical systems, since surface waves caused by the instability are usually undesirable. A prominent example are coating processes that require a film of constant thickness.

Research on film flows has surpassed these simple model in recent decades for two main reasons:
1) Simplified models are not sophisticated enough to represent real systems. The surfaces in technical and natural systems are often not perfectly smooth but rough, either accidentally or intentionally. In addition, a real flow cannot be infinitely extended. It must be limited, for example, by side walls. To describe these complex multidimensional flows, refined models and further experimental investigations are necessary.
2) Since particularly for many technical systems the formation of surface waves should be suppressed, control of the primary instability is crucial. This can be achieved by varying the substrate, but also by appropriate use of sidewall effects.

This thesis deals mainly with the influence of side walls on film flows over flat surfaces, i.e. the difference between channel flow and plane film flow. For this purpose, the stationary flow, the primary instability and the shape of the resulting waves were investigated with different experimental methods and compared with the numerically obtained results for the plane film flow.

In a first step, the equations needed to calculate the primary instability of the plane film flow - namingly the Orr-Sommerfeld equation and the corresponding boundary conditions - are derived. These equations can only be solved analytically in the limit of very long waves, but with numerical methods the whole parameter space is accessible.

Furthermore, it must be ensured that all measurements of steady-state flow and stability are not influenced by inflow effects of the channel. For this purpose, the inflow area was characterized by the measurement of the film thickness and surface velocity along the channel. The measurement positions for all further measurements were chosen in such a way that all inflow effects have decayed to this point.

It will be shown that side walls have a stabilizing effect on film flow and the stabilization increases significantly with decreasing channel width. This can be explained by the influence of side walls on the stationary flow: In close vicinity of the sidewalls the flow is slowed down. In this "disturbed" area, surface waves are damped and the flow is thus stabilized. The narrower the channel, the greater the percentage of the fluid disturbed by the side walls and thus the stronger the stabilizing effect. If the side walls are not flat, but periodically corrugated in the direction of the flow, the range of the disturbance increases significantly. This is also reflected in a correspondingly stronger stabilization. However, the influence of corrugations disappears if its periodicity is very large or very small, as in both cases the corrugated wall transitions to a flat wall.

An unexpected influence of sidewalls on the stability of film flows can be seen in the fragmentation of the neutral curve. It will be shown that in channel flows, waves of a certain wavelength range are damped considerably, which may lead to a splitting of the unstable area of the stability map into two separate unstable isles. The wavelength of this selective damping depends almost exclusively on the channel width. The wider the channel, the longer the waves that are damped. A fragmentation of the neutral curve has so far only been observed in systems with undulated substrates, but not in systems with a flat substrate and flat sidewalls. Therefore the question arises how the channel width - i.e. a characteristic length transverse to the flow direction - can have such a significant influence on the damping wavelength - a characteristic length in flow direction.

An attempt on explanation for this question can be provided by the shape of the surface waves that are artificially generated to measure stability: Friction on the sidewalls causes the wave crest to be curved. The curvature of the wave generally depends strongly on the wavelength, but also on the channel width. At small wavelengths (compared to the channel width) the shape of the wave is dominated by the interaction of subsequent waves, whereas the channel width has no influence. However, if the wavelengths are very large, the influence of adjacent waves vanishes and the curvature depends exclusively on the channel width. In the transition region between the two regimes, i.e. at wavelengths similar to the channel width, an unexpected but distinct maximum in curvature was measured. This maximum of curvature is approximately at the wavelengths where selective damping occurs. However, the wavelength of the maximum curvature is always slightly smaller than the damping wavelength. Based on these observations, it can only be speculated that there is a relationship between the curvature and the damping of a wave in a channel flow. However, the exact interaction between the shape of a wave and the stability of the underlying stationary flow as well as the physical background of both phenomena are highly complex and require further investigations.

The damping effects presented in this thesis could be suitable for technical applications that require an undisturbed film. A stabilization of the flow can be achieved by adding side walls. This effect is further enhanced by the use of corrugated walls. Moreover, it is possible to achieve selective damping for a certain wavelength range up to arbitrarily high Reynolds numbers - at least within the measurement range of the experiments presented in this thesis. Finally, the damping wavelength can be tuned over a wide range by appropriate use of the side walls.

Abstract in weiterer Sprache

Die schwerkraftgetriebene viskose Filmströmung ist ein klassisches Problem der Strömungsmechanik. Sie stellt ein vereinfachtes Modell für eine Vielzahl technischer und natürlicher Systeme dar. Im einfachsten Beispiel, der ebenen Filmströmung über eine unendlich ausgedehnte geneigte Ebene, lässt sich sowohl die stationäre Lösung - bekannt als Nusselt-Strömung - als auch die primäre Instabilität mit einfachen Mitteln aus den Navier-Stokes-Gleichungen bestimmen.

Die Nusselt-Strömung mit ihrem parabolischen Geschwindigkeitsprofil bietet eine gute Abschätzung für das Strömungsverhalten in realen Systemen, das heißt es lässt sich neben der stationären Strömung auch die Instabilität voraussagen. Letztere ist gerade für technische Systeme häufig von großer Bedeutung, denn in der Regel sind die durch die Instabilität verursachten Oberflächenwellen nicht erwünscht. Als prominentes Beispiel seien hier Beschichtungsvorgänge genannt, bei denen ein Film konstanter Dicke benötigt wird.

Es gibt zwei wesentliche Gründe, warum sich die Forschung zu Filmströmungen in den letzten Jahrzehnten weit über dieses einfache Modell hinaus entwickelt hat:
1) Das vereinfachte Modell kann reale Systeme nicht exakt abbilden. Die Untergründe in technischen und natürlichen Systemen sind häufig nicht perfekt glatt sondern rau, sei es zufällig oder beabsichtigt. Außerdem kann eine reale Strömung nicht unendlich ausgedehnt sein, sie muss beispielsweise durch Seitenwände begrenzt sein. Um diese komplexen mehrdimensionalen Strömungen zu beschreiben, sind verfeinerte Modelle und weiterführende experimentelle Untersuchungen nötig.
2) Gerade für technische Systeme ist es oft von wesentlichem Interesse, die Wellenbildung auf der Oberfläche der Filme zu unterdrücken. Durch die Variation der Bodenbeschaffenheit, aber auch durch geschickte Nutzung von Seitenwandeffekten ergibt sich die Möglichkeit, die primäre Instabilität des Films und damit die Entstehung von Oberflächenwellen zu kontrollieren.

Diese Dissertation beschäftigt sich vornehmlich mit dem Einfluss von Seitenwänden auf Filmströmungen über glattem Untergrund, also dem Unterschied zwischen Kanalströmung und ebener Filmströmung. Dazu wurden sowohl die stationäre Strömung, die primäre Instabilität und die Form der dabei entstehenden Wellen mit verschiedenen experimentellen Methoden untersucht und mit den numerisch bestimmbaren Ergebnissen für die ebene Filmströmung verglichen.

In einem ersten Schritt werden die für die Berechnung der primären Instabilität der ebenen Filmströmung benötigten Gleichungen - die Orr-Sommerfeld-Gleichung und die entsprechenden Randbedingungen - hergeleitet. Diese Gleichungen können nur im Grenzfall sehr langer Wellen analytisch gelöst werden, mit numerischen Methoden ist jedoch der ganze Parameterraum zugänglich.

Des Weiteren muss sichergestellt werden, dass sämtliche Messungen der stationären Strömung und der Stabilität nicht von Einlaufeffekten des Kanals beeinflusst werden. Dazu wurde der Einlaufbereich durch Messung der Filmdicke und Oberflächengeschwindigkeit entlang des Kanals charakterisiert. Die Messpositionen für alle weiteren Messungen wurden so gewählt, dass alle Einlaufeffekte bis dorthin abgeklungen sind.

Es wird gezeigt, dass Seitenwände einen stabilisierenden Effekt auf Filmströmung haben, der mit abnehmender Kanalbreite signifikant zunimmt. Dies lässt sich durch den Einfluss der Seitenwände auf die stationäre Strömung erklären: In der unmittelbaren Umgebung der Seitenwände wird die Strömung verlangsamt. In diesem "gestörten" Bereich werden Oberflächenwellen gedämpft und die Strömung somit stabilisiert. Je schmäler der Kanal ist, desto größer ist der prozentuale Anteil der von den Seitenwänden gestörten Flüssigkeit und demnach auch die stabilisierende Wirkung. Sind die Seitenwände nicht glatt, sondern in Strömungsrichtung periodisch unduliert, so vergrößert sich die Reichweite der Störung deutlich. Das spiegelt sich auch in einer entsprechend stärkeren Stabilisierung wider. Allerdings verschwinden die Einflüsse der Undulation, wenn deren Periodizität sehr groß oder sehr klein ist, da sich in beiden Fällen die undulierte Wand einer glatten Wand annähert.

Ein unerwarteter Einfluss von Seitenwänden auf die Stabilität von Filmströmungen zeigt sich in der Fragmentierung der neutralen Kurve. Es wird gezeigt, dass in Kanalströmungen Wellen in einem bestimmten Wellenlängenbereich erheblich gedämpft werden, was zu einer Aufspaltung des instabilen Bereichs der Stabilitätskarte in zwei getrennte instabile Inseln führen kann. Die Wellenlänge dieser selektiven Dämpfung hängt fast ausschließlich von der Kanalbreite ab. Mit steigender Kanalbreite werden längere Wellen gedämpft. Eine Fragmentierung der neutralen Kurve ist bisher nur in Systemen mit unduliertem Boden, jedoch nicht in Systemen mit glattem Boden und glatten Seitenwänden beobachtet worden. Daher stellt sich die Frage, wie die Kanalbreite - also eine charakteristische Länge quer zur Strömungsrichtung -- einen so deutlichen Einfluss auf die Wellenlänge der Dämpfung - eine charakteristische Länge in Strömungsrichtung - nehmen kann.

Einen Erklärungsansatz für diese Frage liefert die Form der Oberflächenwellen, die zur Messung der Stabilität künstlich erzeugt werden: Durch Reibung an den Seitenwänden ist die Wellenfront gekrümmt. Die Krümmung der Welle hängt im allgemeinen stark von der Wellenlänge, aber auch der Kanalbreite ab. Bei kleinen Wellenlängen (im Vergleich zur Kanalbreite) wird die Form der Welle durch die Interaktion benachbarter Wellenzüge dominiert, die Kanalbreite hat hierbei keinen Einfluss. Sind die Wellenlängen jedoch sehr groß, verschwindet der Einfluss benachbarter Wellen und die Krümmung hängt ausschließlich von der Kanalbreite ab. Im Übergangsbereich zwischen den beiden Regimes, also bei Wellenlängen im Bereich der Kanalbreite, wurde ein unerwartetes, aber deutliches Maximum in der Krümmung gemessen. Dieses Maximum der Krümmung liegt annähernd bei den Wellenlängen, bei denen die selektive Dämpfung auftritt. Die Wellenlänge der maximalen Krümmung ist jedoch immer etwas kleiner als die Wellenlänge der Dämpfung. Auf der Grundlage dieser Beobachtungen kann nur spekuliert werden, dass es einen Zusammenhang zwischen der Krümmung und der Dämpfung einer Welle in einer Kanalströmung gibt. Die genaue Wechselwirkung zwischen der Form einer Welle und der Stabilität der ihr zugrunde liegenden stationären Strömung sowie der physikalische Hintergrund beider Phänomene sind jedoch sehr komplex und erfordern weitere Untersuchungen.

Die in dieser Dissertation vorgestellten Dämpfungseffekte könnten für technische Anwendungen geeignet sein, die einen ungestörten Film erfordern. Eine Stabilisierung der Strömung kann durch das Hinzufügen von Seitenwänden erreicht werden. Dieser Effekt wird durch den Einsatz undulierter Wände noch zusätzlich verstärkt. Darüberhinaus ist es möglich, eine selektive Dämpfung für einen bestimmten Wellenlängenbereich bis zu beliebig hohen Reynolds-Zahlen zu erreichen - zumindest innerhalb des Messbereichs der in dieser Arbeit vorgestellten Experimente. Durch geeigneten Einsatz der Seitenwände kann schließlich die Wellenlänge der Dämpfung über einen großen Bereich hin variiert werden.