Constrained Optimization on Manifolds

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Ortiz, Julián:
Constrained Optimization on Manifolds.
Bayreuth , 2020 . - IX, 193 S.
( Dissertation, 2020 , Universität Bayreuth, Fakultät für Mathematik, Physik und Informatik)
DOI: https://doi.org/10.15495/EPub_UBT_00005186

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Abstract

Optimization problems are present in many mathematical applications, and those that are particularly challenging arise when it comes to solving highly nonlinear problems. Hence, it is of benefit exploiting available nonlinear structure, and optimization on nonlinear manifolds provides a general and convenient framework for this task. Applications arise, for instance, in nonlinear problems for linear algebra, nonlinear mechanics, and many more. For the case of nonlinear mechanics, the aim is to preserve some specific structure, such as orientability, incompressibility or inextensibility, as in the case of elastic rods. Moreover, additional constraints can occur, as in the important case of optimal control problems. Therefore, for the solution of such problems, new geometrical tools and algorithms are needed.

This thesis deals with the setting of constrained optimization problems on manifolds and with the construction of algorithms for their numerical solution. In the abstract formulation, we seek to minimize a real function on a manifold, where the constraint is given by a submersion that is a twice continuously differentiable map between two differentiable manifolds. Furthermore, for optimal control applications, we extend this formulation to vector bundles. Optimization algorithms on manifolds are available in the literature, mostly for the unconstrained case, and the usage of retraction maps is an indispensable tool for this purpose. Retractions, which play a fundamental role in the updating of the iterates in optimization algorithms, also allow us to pullback the involved maps to linear spaces, making possible the use of tools and results from the linear setting. In particular, KKT-theory and second-order optimality conditions are tractable thanks to such maps. In this work, we extend the concept of retraction to vector bundles, where first and second-order consistency conditions are also defined. On the other hand, at each point in the manifold, a 1-form Lagrange multiplier arises as a solution of a saddle point problem. We prove that the existence of a potential function for this Lagrange multiplier depends on the integrability, in the sense of Frobenius, of the horizontal distribution, i.e., the orthogonal complement of the linearized constraint map.

For the algorithmic solution of constrained optimization problems on manifolds, we generalize the affine covariant composite step method to these spaces, and local superlinear convergence of the algorithm for first-order retractions is obtained. First, we test the algorithm in a constrained eigenvalue problem. Then, we consider numerical experiments on the mechanics of elastic inextensible rods. There, we compute the final configuration of an elastic inextensible rod under dead load. The case in which the rod enters in contact with one, or several planes, is considered. Hence, we exploit the Riemannian structure of the positive cone. In addition, we solve an optimal control problem of an elastic inextensible rod, as an application to constrained optimization problems on vector bundles. Finally, we use retractions on the space of orientation preserving tetrahedra for finite elasticity problems.

Abstract in weiterer Sprache

Optimierungsprobleme sind Bestandteil vieler mathematischer Anwendungen. Die herausforderndsten Optimierungsprobleme ergeben sich dabei, wenn hoch nichtlineare Probleme gelöst werden müssen. Daher ist es von Vorteil, gegebene nichtlineare Strukturen zu nutzen, wofür die Optimierung auf nichtlinearen Mannigfaltigkeiten einen geeigneten Rahmen bietet. Es ergeben sich zahlreiche Anwendungsfälle, zum Beispiel bei nichtlinearen Problemen der Linearen Algebra, bei der nichtlinearen Mechanik etc. Im Fall der nichtlinearen Mechanik ist es das Ziel, Spezifika der Struktur zu erhalten, wie beispielsweise Orientierung, Inkompressibilität oder Nicht-Ausdehnbarkeit, wie es bei elastischen Stäben der Fall ist. Außerdem können sich zusätzliche Nebenbedingungen ergeben, wie im wichtigen Fall der Optimalsteuerungsprobleme. Daher sind für die Lösung solcher Probleme neue geometrische Tools und Algorithmen nötig.

In dieser Arbeit werden Optimierungsprobleme auf Mannigfaltigkeiten und die Konstruktion von Algorithmen für ihre numerische Lösung behandelt. In einer abstrakten Formulierung soll eine reelle Funktion auf einer Mannigfaltigkeit minimiert werden, mit der Nebenbedingung einer Submersionsabbildung zwischen zwei differenzierbaren Mannigfaltigkeiten. Für Anwendungen der Optimalsteuerung wird diese Formulierung auf Vektorbündel erweitert. In der Literatur finden sich bereits Optimierungsalgorithmen auf Mannigfaltigkeiten, meist ohne Berücksichtigung von Nebenbedingungen. Dabei ist der Einsatz von Retraktionen maßgeblich. Retraktionen, die eine bedeutende Rolle bei
der Schrittberechnung von Optimierungsalgorithmen spielen, erlauben es, die involvierten Abbildungen auf lineare Räume zurückzuziehen, und machen somit einige Ergebnisse aus dem linearen Fall nutzbar. Insbesondere sind über Retraktionen die KKT-Bedingungen und Optimalitätsbedingungen zweiter Ordnung erreichbar. In dieser Arbeit wird das Konzept der Retraktionen auf Vektorbündel erweitert, auf denen Konsistenzbedingungen erster und zweiter Ordnung definiert sind. Andererseits ergibt sich auf jedem Punkt der Mannigfaltigkeit ein 1-Form Lagrange-Multiplikator als Lösung des Sattelpunktproblems. Wir beweisen, dass die Existenz einer Potentialfunktion für den Lagrange-Multiplikator von der Integrierbarkeit (im Sinne von Frobenius) der horizontalen Verteilung, d.h. der orthogonalen Komponente der linearisierten Nebenbedingung, abhängt.

Für die algorithmische Lösung beschränkter Optimierungsprobleme auf Mannigfaltigkeiten wird die affine kovariante Composite-Step-Methode auf diese Räume erweitert und somit lokale superlineare Konvergenz des Algorithmus für Retraktionen erster Ordnung erreicht. Zuerst wird der Algorithmus an einem beschränkten Eigenwert-Problem getestet. Dann werden numerische Experimente in der Mechanik von elastischen nicht dehnbaren Stäben betrachtet.
In letzterem Fall wird der Gleichgewichtszustand eines elastischen nicht dehnbaren Stabes unter Eigengewicht berechnet. Der Fall, dass der Stab in Kontakt mit einer oder mehreren Flächen kommt, wird in Betracht gezogen. Dabei wird die Riemannsche Struktur des positiven Kegels genutzt. Zusätzlich wird ein Optimalsteuerungsproblem eines elastischen nichtdehnbaren Stabs gelöst als Anwendungsfall beschränkter Optimierungsprobleme auf Vektorbündeln. Schließlich werden Retraktionen auf dem Raum von Orientierung erhaltenden Tetraedern für finite Elastizitätsprobleme genutzt.