Sensitivity Analysis and Goal Oriented Error Estimation for Model Predictive Control

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Schaller, Manuel:
Sensitivity Analysis and Goal Oriented Error Estimation for Model Predictive Control.
Bayreuth , 2021 . - IX, 185 S.
( Dissertation, 2021 , Universität Bayreuth, Fakultät für Mathematik, Physik und Informatik)
DOI: https://doi.org/10.15495/EPub_UBT_00005538

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Abstract

Subject of this thesis is the sensitivity analysis and the specialized adaptive discretization for the Model Predictive Control (MPC) of optimal control problems with partial differential equations. In every iteration of an MPC controller, an optimal control problem on a possibly long time horizon is solved. Only an initial part of the optimal solution is used as a feedback for the system to be controlled. This motivates the use of efficient discretization schemes tailored to this approach, i.e., space and time grids, which are fine at the beginning of the time interval and become coarser towards the end.
In this work, a comprehensive sensitivity analysis is performed to estimate the influence of perturbations that occur in the far future on the MPC feedback, i.e., the optimal control on an initial part. Under stabilizability conditions on the involved operators it will be shown that the influence of perturbations is of local nature, meaning that discretization errors that occur in the far future only have a negligible effect on the MPC feedback. This property will be proven for various problem classes, covering problems governed by strongly continuous semigroups, by non-autonomous parabolic equations or by semilinear parabolic equations. It is further shown that, in case of an autonomous problem, the exponential decay of perturbations is strongly connected to the turnpike property — a structural feature of optimal solutions stating that solutions of autonomous optimal control problems on a long time horizon reside close to a steady state for the majority of the time. In that context, novel turnpike results for optimal control problems are given.
The theoretical analysis serves as a foundation for efficient discretization methods for MPC. Thus, we propose several a priori space and time discretization schemes. Further, we analyze goal oriented a posteriori error estimation with a specialized objective for refinement, which only incorporates an initial part of the horizon, as a powerful tool for adaptive MPC. We will prove under stabilizability assumptions that the error indicators decay exponentially outside the support of this specialized quantity of interest. Finally, we illustrate the behavior and performance of these specialized discretization algorithms in an MPC context by various numerical examples, including problems governed by linear, semilinear, and quasilinear dynamics with distributed and with boundary control.

Abstract in weiterer Sprache

Gegenstand dieser Arbeit ist die Sensitivitätsanalyse und die spezialisierte adaptive Diskretisierung für die modellprädiktive Regelung von Optimalsteuerungsproblemen mit partiellen Differentialgleichungen. In jedem Schritt eines modellprädiktiven Reglers wird ein Optimalsteuerungsproblem auf einem möglicherweise langen Zeithorizont gelöst. Nur ein Anfangsteil der optimalen Lösung wird als Regelung für das zu steuernde System verwendet. Dies motiviert die Verwendung von effizienten Diskretisierungsschemata, die genau auf dieses Vorgehen zugeschnitten sind, die also Orts- und Zeitgitter verwenden, welche am Anfang des Zeithorizonts fein sind und gegen Ende immer gröber werden.

In dieser Arbeit wird eine umfangreiche Sensitivitätsanalyse durchgeführt, um den Einfluss von Störungen, die in ferner Zukunft auftreten, auf die Rückkopplung des modellprädiktiven Reglers, also die optimale Steuerung auf einem Anfangsteil des Lösungshorizonts, abzuschätzen. Es wird unter Stabilisierbarkeitsannahmen an die zugrundeliegenden Operatoren gezeigt, dass der Einfluss von Störungen lokaler Natur ist, d.h., dass Diskretisierungsfehler, die in ferner Zukunft auftreten, einen vernachlässigbaren Einfluss auf die Rückkopplung der modellprädiktiven Regelung haben. Diese Eigenschaft wird für eine Vielzahl von Problemklassen bewiesen, darunter Probleme, deren Dynamik durch eine stark stetige Halbgruppe, durch eine nichtautonome parabolische Gleichung oder durch eine semilineare parabolische Gleichung beschrieben wird. Weiterhin wird gezeigt, dass dieses Abklingen von Störungen im Falle eines autonomen Problems sehr nah mit der Turnpike Eigenschaft verwandt ist - einer strukturellen Eigenschaft von optimalen Lösungen, die sich dadurch auszeichnet, dass die Lösungen von Optimalsteuerungsproblemen auf langen Zeithorizonten die meiste Zeit nahe eines Gleichgewichts verweilen. In diesem Kontext werden neue Turnpike Resultate gezeigt.


Diese theoretische Analyse bietet die Grundlage für effiziente Diskretisierungsverfahren für die modellprädiktive Regelung. Wir schlagen dazu verschiedene Methoden zur a-priori-Diskretisierung in Ort und Zeit vor. Weiter analysieren wir die zielorientierte a-posteriori-Fehlerschätzung mit einer bestimmten Interessensfunktion, die nur einen Anfangsteil des Horizonts mit einbezieht, als wirksames Werkzeug für die adaptive modellprädiktive Regelung. Dazu werden wir unter Stabilisierbarkeitsannahmen beweisen, dass die Fehlerindikatoren außerhalb des Trägers dieser spezialisierten Interessensfunktion exponentiell abfallen. Wir werden das Verhalten und die Performanz dieser adaptiven Diskretisierungsmethoden im Kontext der modellprädiktiven Regelung an einer Vielzahl von numerischen Beispielen testen, darunter Probleme mit linearen, semilinearen und quasilinearen Dynamiken unter verteilter Steuerung sowie Randsteuerung.