Computation of Lyapunov functions and stability of interconnected systems

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Li, Huijuan:
Computation of Lyapunov functions and stability of interconnected systems.
Bayreuth , 2015 . - 130 S.
( Dissertation, 2015 , Universität Bayreuth, Fakultät für Mathematik, Physik und Informatik)

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Abstract

In this thesis, we investigate the problems of computation of Lyapunov functions and stability analysis of interconnected systems.

In Chapter 1, preliminary results about stability, definitions of Lyapunov functions and triangulations are presented. In order to analyse stability of interconnected systems in Chapters 3 and 4, we introduce three small gain theorems.

We propose a new approach of computing Lyapunov functions for dynamic systems without perturbations with an asymptotically stable equilibrium at the origin in Chapter
2. The proposed method constructs a continuous and piecewise affine (CPA) function on a compact subset of state space with the origin in its interior based on functions from classical converse Lyapunov theorems originally due to Yoshizawa, and then verifies if the vertex values satisfy linear inequalities for vertices in the subset excluding a small neighbourhood of the origin. If the linear inequalities are satisfied, then the CPA function is a CPA Lyapunov function on the subset excluding a small neighbourhood of the origin. Several examples are presented to show the feasibility of the
approach.

Since a maximal robust Lyapunov function for uniformly asymptotically stable systems can be obtained using Zubov's method, we present a new way of computing integral inputto-
state stable (iISS) Lyapunov functions by Zubov's method and auxiliary systems in Chapter 3. For an iISS dynamic system with perturbation, we introduce an auxiliary
system which is uniformly asymptotically stable. Then a robust Lyapunov function for the auxiliary system is computed by Zubov's method. We then prove that such a robust
Lyapunov function is an iISS Lyapunov function for the original dynamic system with perturbation. We further state that the iISS Lyapunov function is a local input to state
stable (ISS) Lyapunov function for the considered dynamic system with perturbations on a subset of the domain of attraction for the auxiliary system. Furthermore, stability of two interconnected iISS systems is investigated. For each subsystem, using our proposed method, iISS and ISS Lyapunov functions are constructed. Stability of the interconnected systems is then analysed by the small gain theorem in comparison form and the small gain theorem in dissipative form, respectively. An academic example is shown to illustrate how this method is applied.

In Chapter 4, we design a numerical algorithm for computing ISS Lyapunov functions for dynamic systems with perturbations. This algorithm relies on a linear optimization problem. If the linear optimization problem has a feasible solution, then the solution is proved to be a CPA ISS Lyapunov function on a simplicial grid covering the given compact set excluding a small neighbourhood of the origin. Since the interpolation errors are incorporated in the linear constraints, as in Chapter 2 the computed ISS Lyapunov function is a true ISS Lyapunov function rather than a numerical approximation. We prove that the linear optimization problem has a feasible solution if the system is ISS. Furthermore, we study stability of interconnected ISS systems. For each subsystem, an ISS Lyapunov function is computed by our proposed method. Since the obtained ISS
Lyapunov functions satisfy linear inequalities, the stability of interconnected systems can be analysed by the small gain theorem in linear form.

Abstract in weiterer Sprache

In dieser Arbeit untersuchen wir, wie man Lyapunov Funktionen berechnen kann und analysieren die Stabilitaet von gekoppelten Systemen.

Zunaechst praesentieren wir in Kapitel 1 erste Stabilitaetsergebnisse, sowie die Definitionen von Lyapunov Funktionen und Triangulierung. Auch fuehren wir drei small-gain Theoreme ein, um die Stabilitaet von gekoppelten Systemen in Kapitel 3 und 4 zu analysieren.

In Kapitel 2 erlaeutern wir einen neuen Ansatz zur Berechnung von Lyapunov Funktionen fuer dynamische Systeme ohne Stoerungen mit einem asymptotisch stabilen Gleichgewicht im Ursprung. Diese Methode konstruiert eine stetige und stueckweise affine (continuous and piecewise affine; kurz: CPA) Funktion auf einer kompakten Teilmenge des Zustandsraums, welche den Ursprung in ihrem Inneren enthaelt. Dabei wird eine Konstruktion aus einer klassischen Umkehrung des Lyapunov Theorems benutzt, die auf Yoshizawa zurueckgeht. Danach wird ueberprueft, ob die Funktionswerte der Ecken ausserhalb einer kleinen Umgebung um den Ursprung vorgegebene lineare Ungleichungen erfuellen. Wenn die linearen Ungleichungen erfuellt sind, dann ist die CPA Funktion eine CPA Lyapunov Funktion auf der Teilmenge mit Ausnahme einer kleinen Umgebung des Ursprungs. Der
Ansatz wird anhand einiger Beispiele verdeutlicht.

Da man mit Hilfe von Zubovs Methode eine maximale robuste Lyapunov Funktion fuer gleichmaessig asymptotisch stabile Systeme erhalten kann, entwickeln wir in Kapitel 3 eine neue Moeglichkeit, um integral input-to-state stabile (iISS) Lyapunov Funktionen mittels Zubovs Methode und geeigneten Hilfssystemen zu berechnen. Fuer ein iISS dynamisches
System unter dem Einfluss von Stoerungen fuehren wir ein Hilfssystem ein, das gleichmaessig asymptotisch stabil ist. Danach wird eine robuste Lyapunov Funktion fuer das Hilfssystem mittels Zubovs Methode berechnet. Wir beweisen, dass so eine robuste Lyapunov Funktion eine iISS Lyapunov Funktion fuer das urspruengliche dynamische System mit Stoerungen ist. Weiterhin zeigen wir, dass die iISS Lyapunov Funktion eine lokale input-to-state stabile (ISS) Lyapunov Funktion auf einer Teilmenge des Attraktionsgebietes des Hilfssystems fuer das betrachtete dynamische System mit Stoerungen ist. Des weiteren wird die Stabilitaet von zwei gekoppelten iISS Systemen untersucht. Fuer jedes Teilsystem werden iISS und ISS Lyapunov Funktionen mittels der erlaeuterten Methode konstruiert. Die Stabilitaet des Gesamtsystems wird dann mittels small-gain Theoremen analysiert, einmal in Vergleichsform und einmal in dissipativer Form. Ein akademisches Beispiel zeigt, wie man die Methode anwendet.

In Kapitel 4 entwerfen wir einen numerischen Algorithmus fuer die Berechnung von ISS Lyapunov Funktionen fuer dynamische Systeme unter dem Einfluss von Stoerungen. Der Algorithmus basiert auf der Loesung eines linearen Optimierungsproblems. Sofern das lineare Optimierungsproblem eine Loesung besitzt, koennen wir zeigen, dass die Loesung eine CPA ISS Lyapunov Funktion auf einem simplizialen Gitter ist, das eine gegebene kompakte Menge mit Ausnahme einer kleinen Umgebung des Ursprungs abdeckt. Da die Interpolationsfehler in den linearen Beschraenkungen beruecksichtigt werden, erhaelt man, wie in Kapitel 2, eine echte ISS Lyapunov Funktion anstatt einer numerischen Approximation. Wir zeigen, dass das lineare Optimierungsproblem eine zulaessige Loesung besitzt, wenn das System ISS ist. Des weiteren untersuchen wir die Stabilitaet von gekoppelten Systemen. Fuer jedes Teilsystem berechnen wir eine ISS Lyapunov Funktion mit der vorgeschlagenen Methode. Da die Lyapunov Funktionen, die wir erhalten, lineare Ungleichungen erfuellen, kann die
Stabilitaet des gekoppelten Systems mittels dem small-gain Theorem in linearer Form analysiert werden.