Neue Formen der Adaptivität bei der Kreuzapproximation nicht-lokaler Operatoren

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Bauer, Maximilian:
Neue Formen der Adaptivität bei der Kreuzapproximation nicht-lokaler Operatoren.
Bayreuth , 2023 . - 134 S.
( Dissertation, 2022 , Universität Bayreuth, Fakultät für Mathematik, Physik und Informatik)
DOI: https://doi.org/10.15495/EPub_UBT_00006896

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Abstract

Nicht-lokale Operatoren stellen den vorrangigen Anwendungsbereich der in dieser Arbeit vorgestellten Methoden und Strategien dar. Da die Diskretisierung derartiger Operatoren und deren Lösung in linearen Gleichungssystemen sehr speicher- und zeitintensiv ist, werden an dieser Stelle Techniken benötigt, um die Anforderungen an den Speicher und die Rechenzeit zu verringern. In Verbindung mit hierarchischen Matrizen existiert mit der adaptiven Kreuzapproximation (ACA) bereits eine Methode, diskretisierte Operatoren effizient zu behandeln. Jedoch generiert ACA eine im weitesten Sinne universelle Approximation, wodurch hierbei noch redundante oder auch unnötige Informationen entstehen, gespeichert und anschließend verarbeitet werden. In einigen Anwendungen kann dies durchaus vorteilhaft sein, vor allem, wenn der diskrete Operator in vielen verschiedenen Gleichungssystemen Verwendung findet. Im Gegenzug ist bei einmaliger Anwendung des diskretisierten Operators eine Approximation, welche auf das Problem zugeschnitten ist, effizienter als eine universelle Approximation.
In theoretischer Sicht erfordert ACA eine bestimmte Punktauswahl, damit im zugrunde liegenden Interpolationsproblem die eindeutige Lösbarkeit garantiert werden kann. Bei den meisten Problemstellungen liefert diese gut analysierte Punktauswahl vernünftige Ergebnisse. Jedoch existieren auch Beispiele, wie die Anwendung der ACA bei nicht glatten Gebieten, in denen ACA mit dieser Punktauswahl nicht konvergiert.
Die vorliegende Arbeit setzt an den beiden oben beschriebenen Problemen an. Zuerst wird unter Benutzung der Interpolation mittels multivariater bzw. radialer Basisfunktionen die Punktauswahl bei ACA verbessert. Der Vorteil bei diesem Funktionensystem ist, dass radiale Basisfunktionen positiv definit sind und dadurch die eindeutige Lösbarkeit des Interpolationsproblems gewährleistet ist. Die Approximation der Funktion, auf welcher ACA angewendet wird, kann hierbei mittels der Fouriertransformation sichergestellt werden. Somit können die Punkte bei ACA anhand der sogenannten Fülldichte gewählt werden, welche eine bessere Abdeckung der Geometrie ermöglicht.
Des Weiteren wird ACA mit zusätzlichen adaptiven Elementen ausgestattet, um eine spezialisierte Approximation zu erreichen. Hierfür werden Fehlerschätzer und Verfeinerungsstrategien, wie das "Dörfler Marking", eingeführt, welche die Auswahl derjenigen Blöcke gewährleistet, deren Approximationen den größtmöglichen Genauigkeitsgewinn liefern. Im letzten Schritt wird schließlich die Approximation der Blöcke an das iterative Lösungsverfahren gekoppelt, um so ein hybrides Lösungsverfahren zu erhalten, welches weniger Rechenzeit und Speicheranforderungen benötigt.
Getestet werden die entwickelten Verfahren an verschiedenen numerischen Problemen, wie Randwertproblemen bzgl. der Laplace- oder Lamé-Gleichung, welche mittels der Randelementemethode behandelt werden. Zudem wird die Konvergenz der ACA bei nicht-glatten Geometrien unter Verwendung der Fülldichte anhand numerischer Beispiel gezeigt.

Abstract in weiterer Sprache

Non-local operators represent the primary application of the methods and strategies presented in this thesis. Since the discretization of such operators and their solution in linear systems of equations is very memory and time intensive, techniques are needed at this point to reduce the memory and computation time requirements. In conjunction with hierarchical matrices, adaptive cross approximation (ACA) already exists as a method to handle discretized operators efficiently. However, ACA generates a universal approximation in the broadest sense, whereby redundant or unnecessary information is created, stored and subsequently processed. In some applications this can be quite advantageous, especially if the discrete operator is used in many different equation systems. In turn, when the discretized operator is used once, an approximation which is tailored to the problem is more efficient than a universal approximation.
From a theoretical point of view, ACA requires a certain point selection in order to guarantee unique solvability in the underlying interpolation problem. In most problems, this well-analyzed point selection yields reasonable results. However, examples also exist in which ACA does not converge with this point selection, for instance when dealing with non-smooth geometries.
The present work addresses the two problems described above. First, the point selection for ACA is improved using interpolation by means of multivariate or radial basis functions. The advantage of this function system is that radial basis functions are positive definite and thus the unique solvability of the interpolation problem is guaranteed. The approximation of the function to which ACA is applied can be ensured by means of the Fourier transform. Thus, the points in the ACA method can be selected on the basis of the so-called fill distance, which enables a better coverage of the geometry.
Furthermore, ACA is equipped with additional adaptive elements in order to achieve a specialised approximation. For this purpose, error estimators and refinement strategies, such as "Dörfler marking", are introduced, which ensure the selection of those blocks whose approximations provide the greatest possible gain in accuracy. Finally, in the last step, the approximation of the blocks is coupled to the iterative solution process in order to obtain a hybrid solution procedure, which requires less computing time and memory.
The developed methods are tested on various numerical problems, such as boundary value problems concerning the Laplace or Lamé equation, which are treated by means of the boundary element method. In addition, the convergence of ACA for non-smooth geometries using the fill distance is shown by numerical examples.