A study on the ion temperature gradient driven turbulence in tokamak plasmas

Titelangaben

Migliano, Pierluigi:
A study on the ion temperature gradient driven turbulence in tokamak plasmas.
Bayreuth , 2015 . - 89 S.
( Dissertation, 2015 , Universität Bayreuth, Fakultät für Mathematik, Physik und Informatik)

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Abstract

The continuous growth of the energy worldwide consumption is one of the most important
challenges to our civilization. New kinds of energy resources are without doubt needed.
Nuclear fusion promises to supply large amounts of energy, with minimal environmental impact.
This has motivated at least sixty years of research
in which substantial progress has been achieved, but without breakthrough result.

Nuclear fusion can occur at temperatures of the order of 150 million degrees Celsius (thermonuclear fusion).
At these temperatures
atoms are completely ionized, the fuel is then
in the state of matter called a plasma, a gas of ions and electrons.

The most promising approach towards the goal of using thermonuclear fusion for large scale energy production
is to confine the plasma using magnetic fields. The tokamak is the device that produces the best
results concerning plasma magnetic confinement to date.

One of the main tasks of fusion research is the understanding of plasma confinement.
The energy confinement must be sufficiently good such that a large amount of reactions take place,
this in order to make the process economically convinient.
This translates in the necessity of minimizing the heat fluxes out of the plasma.

The heat fluxes observed experimentally in tokamak plasmas are much higher than those
that can be ascribed to collisions. This so called anomalous transport
is largely controlled by the destabilization of low frequency drift wave fluctuations,
resulting in turbulence in the plasma on small scales compared to the tokamak size.

The drift waves are collective modes of plasma oscillations that propagate through the plasma,
arising as a result of the independent dynamics
of ions and electrons in the presence of gradients of quantities describing the plasma (temperature, density, etc.).

In this thesis, physical phenomena connected with the global description of
turbulence in tokamak plasma have been analysed. Quasi-local
simulations of electrostatic Ion Temperature Gradient (ITG) modes instabilities, i.e. electrostatic microinstabilities driven in the plasma
by the presence of an ion temperature gradient, have been performed. Quasi-local refers to the case in which
background quantities are assumed constant throughout the simulation domain,
but inhomogeneities in the profiles of the turbulent quantities are taken into account.
The work consists of two main parts.

In the first part of the thesis,
the electrostatic linear ITG modes growth rate (γ) spectrum is numerically calculated. It is observed that γ as a function of the
poloidal wave vector (kΘ) is given by a double-humped curve. In particular, it is observed that modes with high value of kΘ
have a maximum amplitude at a position
that is shifted away from the low field side. The physical mechanism responsible for this behaviour
is clarified through the use of a fluid model. It is shown that the shift of the mode away
from the low field side reduces the effective drift frequency which allows for the instability to develop.
Numerical tests using the gyro-kinetic model confirm this physical mechanism.

The second part of the thesis is dedicated to the study of Turbulence Spreading (TS), i.e. the turbulent
transport of turbulence.

Gyro-kinetic simulations predict that, when increasing the size of the reactor, the heat conduction coefficient ($\chi$) undergoes
a scaling transition from Bohm ($\chi\propto\chi_B$, with $\chi_B$ the Bohm diffusion coefficient)
to gyro-Bohm ($\chi\propto\rho_*\chi_B$, with $\rho_*$ the normalized Larmor radius $\rho_*=\rho/R$ where $\rho$ is the ion Larmor radius and $R$ is the tokamak size).
This transition is ascribed to non-local phenomena. Non-local refers to situations in which the fluxes do not
depend just on the local gradients.

In the literature, TS has been proposed as the mechanism responsible for
this transition.
Up to now, TS has been analytically described applying
an ad hoc conservation equation for the evolution of
the local intensity of the turbulence, defined as the squared modulus of the electrostatic potential. The conservation equation is
given in the form of a Fisher-Kolmogorov (FK)
equation with inhomogeneous diffusion coefficient. Although physically motivated, the FK equation proposed to describe TS is not derived
from first principles. No explicit expression for the transport flux
of turbulence exists, and this flux can therefore not be directly calculated in numerical simulations of plasma turbulence.

In this thesis, a conservation equation is
derived for the radially dependent entropy in toroidal geometry
using the local approximation of the gyro-kinetic equation.
This naturally leads to an operative definition for the turbulence intensity.
The treatement
provides an operative tool for both analytic as well as numeric studies of the
radial propagation of turbulence in tokamak plasmas. In fact, explicit expressions for the turbulence intensity
and the turbulence intensity flux, that allow direct numerical evaluation, are derived.

A carefully designed numerical experiment is used to determine the
turbulence diffusion coefficient for the first time. This is found to be smaller than the
heat conduction coefficient, and a spreading length is found to be
of the order of the turbulence correlation length.
The results show that turbulence spreading can play a role in the non-local flux gradient relation, or in
the scaling of transport coefficients with the normalized Larmor radius, only over length scale of the order of the
turbulence correlation length.

Finally, the turbulence convection through the drift connected with the magnetic field inhomogeneities is investigated.
The convective flux integrates to zero under the flux surface average unless there is an up-down (in the poloidal plane) asymmetry in the tubulence intensity.
The latter asymmetry can be generated through a radial inhomogeneity or plasma rotation.
It is shown that the turbulence
convection can lead to a spreading of the order of the correlation length under some cicumstances.

Abstract in weiterer Sprache

Das stete Wachstum des globalen Energiekonsums ist eine der grössten
Herausforderungen für unsere Zivilisation. Neue Energiequellen sind
zweifellos notwendig. Die Kernfusion verspricht grosse Energiemengen zu
liefern und dabei die Umwelt zu schonen. Diese Aussicht motivierte
mindestens sechzig Jahre der Forschung, in denen bedeutende
Fortschritte erzielt wurden, während der Durchbruch allerdings
ausblieb.

Kernfusion geschieht bei Temperaturen in der Größenordnung von 150
Millionen Grad Celsius (Thermonukleare Fusion). Bei diesen
Temperaturen sind Atome vollständig ionisiert und der Brennstoff befindet sich
in dem Aggregatzustand der Plasma genannt wird, einem Gas von Ionen
und Elektronen.

Der vielversprechendste Ansatz, um thermonukleare Fusion zur
großskaligen Energieproduktion einzusetzen, ist das Plasma mittels
magnetischer Felder einzuschließen. Der Tokamak ist heutzutage der
Reaktortyp, der die besten Resultate bezüglich des magnetischen
Einschlusses ermöglicht.

Eine der wichtigsten Ziele der Fusionsforschung ist das
Verständnis des Plasma-Einschlusses. Der Energie-Einschluss muss so
gut sein, dass eine hohe Reaktionsrate erreicht wird und der Betrieb
ökonomisch ist. Das bedeutet, dass sämtliche Wärmeabflüsse aus dem
Plasma minimiert werden mü
ssen.

Die Wärmeflüsse die experimentell in Tokamak Plasmen beobachtet
werden, sind erheblich grösser als jene, die Teilchenkollisionen
zugeschrieben werden können. Der sogenannte anomale Transport wird vor
allem von instabilen niederfrequenten \emph{Drift Wave} Fluktuationen
verursacht, welche im Plasma zu Turbulenz auf Skalen führen, die klein
gegen die Reaktorgröße sind.

\emph{Drift Waves} sind Moden von kollektive Oszillationen, die sich durch
das Plasma ausbreiten und aufgrund der getrennten Dynamik von Ionen
und Elektronen entstehen, wenn die Größen, die das Plasma beschreiben
(Temperatur, Dichte, ...) Gradienten aufweisen.

In dieser Dissertation werden physikalische Phänomene untersucht, die
mit der globalen Beschreibung von Turbulenz in Tokamak-Plasmen
zusammenhängen. \emph{Quasi-local} Simulationen elektrostatischer
\emph{Ion Temperature Gradient (ITG)} Instabilitäten, d.h. von
Ionentemperatur Gradienten getriebene elektrostatische
Mikroinstabilitäten, werden gezeigt. Der Begriff \emph{Quasi-local}
bedeutet, dass Hintergrundgrößen als konstant über die
Simulationdomäne angenommen werden, während die Profile von
turbulenten Größen inhomogen sein können.
Die Arbeit gliedert sich in zwei Teile.

Im ersten Teil wird das Spektrum der Wachstumsrate $\gamma$ der
elektrostatischen linearen ITG Moden numerisch berechnet. Es wird
beobachtet, dass $\gamma$ als Funktion des poloidalen Wellenvektors
$k_\theta$ eine \emph{double-humped} Kurvenform hat. Insbesondere
wird beobachtet, dass Moden mit hohem $k_\theta$ ihre maximale
Amplitude bei einer Position besitzen, die gegen die Niedrigfeldseite
(low field side) verschoben ist. Der physikalische Mechanismus, der
für dieses Verhalten verantwortlich ist, wird mittels eines
Fluidmodells geklärt. Es wird gezeigt, dass die Verschiebung weg von
der Niederfeldseite die effektive Drift Frequenz verringert, welche
wiederum die Entwicklung der Instabilität erlaubt. Numerische Tests
anhand des gyrokinetischen Modells bestätigen diesen physikalischen
Mechanismus.

Der zweite Teil der Arbeit ist dem Studium des \emph{Turbulence
Spreading} (TS) gewidmet, d.h. dem turbulenten Transport von
Turbulenz. Gyrokinetische Simulationen sagen vorher, dass der
Wärmeleitungskoeffizient $\chi$ von Bohm scaling ($\chi \propto
\chi_B$, wobei $\chi_B$ der Bohm'sche Diffusionskoeffizient ist) zu
gyro-Bohm scaling übergeht ($\chi \propto \rho_*\chi_B$, wobei
$\rho_*$ der normalisierte Larmor Radius $\rho_* = \rho/R$ ist, mit
$\rho$ dem Ionen Larmor Radius und $R$ der Reaktorgröße), wenn der
Reaktor vergrößert wird. Dieser Übergang wird nicht-lokalen
Phänomenen zugeschrieben. Der Begriff nicht-lokal bezieht sich
auf Situationen, in denen Flüsse nicht nur von lokalen Gradienten
abhängen.

In der Literatur wurde TS als der Mechanismus vorgeschlagen, der
für diesen Übergang verantwortlich ist. Bisher wurde TS analytisch
beschrieben, indem eine ad hoc Erhaltungsgleichung für die
Zeitentwicklung der lokalen Intensität der Turbulenz, definiert als
Betragsquadrat des elektrostatischen Potentials, aufgestellt wurde.
Jene Erhaltungsgleichung hat die Form einer Fisher-Kolmogorov (FK)
Gleichung mit inhomogenen Diffusionskoeffizienten. Obwohl diese
Gleichung physikalisch motiviert ist, ist sie jedoch nicht von
\emph{first principles} hergeleitet. Desweiteren existiert kein expliziter
Ausdruch für den Turbulenzfluss und dieser Fluss kann daher in
numerischen Simulationen der Plasmaturbulenz nicht direkt berechnet
werden.

In dieser Arbeit wird eine Erhaltungsgleichung für die radial
abhängige Entropie in toroidaler Geometrie unter Verwendung der
lokalen Näherung der gyrokinetischen Gleichung hergeleitet. Dies führt
natürlicherweise zu einer operativen Definition der Intensität der
Turbulenz. Diese Abhandlung bietet ein operatives Werkzeug sowohl für
analytische als auch für numerische Studien der radialen Propagation
von Turbulenz in Tokamak Plasmen an. Explizite Ausdrücke für die
Intensität der Turbulenz und ihren Fluss, welche direkte numerische
Auswertung erlauben, werden hergeleitet.

Ein sorgfältig konstruiertes numerisches Experiment wird verwendet um
den Diffusionskoeffizienten der Turbulenz zum ersten Mal zu bestimmen.
Er stellt sich als kleiner als der Wärmeleitungskoeffizient
heraus und die TS Länge ist in der Größenordnung der
Korrelationslänge der Turbulenz.
Die Ergebnisse zeigen, dass TS nur über Längenskalen der Gröss}enordnung
der Turbulenz-Korrelationslänge bei der nicht-lokalen Beziehung von Fluss und Gradient oder
in der Skalierung von Transportkoeffizienten mit dem normalisierten Larmor Radius eine
Rolle spielen können.

Schließlich wird Konvektion von Turbulenz durch Drift, verbunden mit
Inhomogenitäten des magnetischen Feldes, untersucht. Der konvektive
Fluss, gemittelt über Flussflächen, integriert zu Null, außer wenn es
eine \emph{up-down} Asymmetrie (bzgl. der poloidalen Ebene) in der
Intensität der Turbulenz gibt. Letztere Asymmetrie kann durch radiale
Inhomogenität oder einer Rotation des Plasmas erzeugt werden. Es wird gezeigt,
dass unter bestimmten Umständen Konvektion von Turbulenz zu
Ausbreitung auf der Größenordnung der
Korrelationslänge führen kann.