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Thäter, Markus:
Die Platonischen Körper und ihre Symmetriegruppen.
2010
. - 63 S.
(Zulassungsarbeit,
2011
, Universität Bayreuth, Fakultät für Mathematik, Physik und Informatik, Lehrstuhl Mathematik VIII)
Abstract
Die Platonischen Körper gehen auf eine Definition von Platon zurück. In dieser Arbeit werden die Eigenschaften dieser, inklusive ihrer Symmetriegruppen beschrieben.
Nach der geometrischen Beschreibung der fünf Körper werden die Ecken-Flächen-Kanten-Verhältnisse anhand der Euler'schen Polyederformel, die mithilfe der stereographischen Projektion bewiesen wird, überprüft.
Weiter wird auf die Dualität und der Zusammenhang zwischen Dualität und Symmetriegruppe betrachtet.
Ausgehend von der Symmetriegruppe des Tetraeders, dem A_4, werden die Symmetriegruppen des Würfels und des Oktaeders, der S_4, anhand eines geometrischen Arguments bestimmt.
Um die Lage der Eckpunkte eines Ikosaeders im Raum zu beschreiben wird der Goldene Schnitt verwendet. Die Drehgruppe des Ikosaeders, der A_5, wird durch die Angabe von zwei Erzeugern eindeutig bestimmt. Am Ende der Arbeit werden die Raumkoordinaten eines Ikosaeders ausgehend von dem Punkt (0, tau, 1-tau), wobei tau den goldenden Schnitt bezeichnet, durch Anwenden aller Gruppenoperationen bestimmt.