Diffusion of nanoparticles nearby elastic cell membranes : A theoretical study

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Daddi Moussa Ider, Abdallah:
Diffusion of nanoparticles nearby elastic cell membranes : A theoretical study.
Bayreuth , 2017 . - VII, 353 S.
( Dissertation, 2017 , Universität Bayreuth, Fakultät für Mathematik, Physik und Informatik)

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Abstract

Elastic confinements are an important component of many soft matter systems and dictate the transport properties of suspended particles under flow. In this thesis, we present a fully analytical theory of the hydrodynamic interactions and Brownian motion of nanoparticles immersed in a Newtonian fluid, moving in close vicinity to a realistically modeled elastic cell membrane. The membrane is attached to a cross-linked cytoskeleton network providing a resistance towards shearing and consists of a lipid bilayer to enable resistance towards bending. We assume that the fluid surrounding the particles is governed by the linear Stokes equations where the viscous forces dominate over the inertial forces. Our analytical calculations start with the computation of the Green's functions representing the flow field due to a concentrated point force singularity acting nearby the elastic membrane. We then compute the frequency-dependent mobility functions connecting the force and torque with the translational and rotational velocities of the suspended particles. Thereupon, we derive analytical expressions of the diffusion tensor which can directly be obtained from the particle mobility functions via the fluctuation-dissipation theorem. Our most important finding is that the elastic nature of the confining membrane induces a memory effect in the system, leading to a long-lived anomalous subdiffusive behavior of nearby particles.

The determination of the Green's functions in the presence of an elastic boundary consists of writing the general solution of the Stokes equations as a sum of a bulk contribution and a correction term that is required to satisfy the regularity and boundary conditions imposed at the membrane. Depending on the membrane geometry we use three vastly different analytical approaches: (a) two dimensional Fourier transform technique for planar membranes, (b) a Fourier-Bessel integral for cylindrical membranes and (c) spherical harmonics for membranes with spherical geometry. Accordingly, the Green's functions can conveniently be expressed in terms of infinite integrals over the wavenumber or as convergent infinite sums of spherical harmonics. By considering a vanishing actuation frequency, the Green's functions are found to be identical to that predicted nearby a hard boundary with stick boundary conditions.

The exactly known Green's functions allow then for the analysis of the effect of the membrane on the motion of particles, notably for the calculation of self- and pair-mobility functions relevant to fluid transport nearby elastic membranes. Analytical expressions of the mobility functions can be obtained by considering a distribution of point force singularities over the surface of the particles. Nonetheless, we restrict ourselves in most cases to the commonly employed point-particle approximation. The latter represents the leading-order term in an expansion of the mobility function in a power series with respect to the ratio between the particle radius and the distance from the membrane for the self-mobilities, or between the particle radius and the interparticle distance for the pair-mobilities. We show that this approximation despite its simplicity can surprisingly lead to a good estimate of the mobility functions when comparing with fully resolved numerical simulations performed using truly finite-sized particles.

The computation of the frequency-dependent mobility functions provides the memory kernel of the particle-membrane system and thus allows for the investigation of the diffusional motion of Brownian particles nearby elastic cell membranes via a generalized Langevin formalism. A complete characterization of particle diffusion can be performed by computing the mean-square displacement (MSD) which is known to be a linear function of time in bulk fluid. Nearby an elastic membrane however, the MSD exhibits a transient anomalous subdiffusion at intermediate time scales of motion with a scaling exponent that depends strongly on the distance separating the particles from the confining membrane. The steady MSD is found to follow a standard linear behavior and the diffusion coefficient approaches the one predicted close to a hard boundary. Using physical parameters corresponding to a typical red blood cell membrane, we find that the subdiffusive regime may enhance residence times and binding rates of nearby nanoparticles by up to 50 \% and therefore might be of possible physiological significance for the uptake of targeted nanocarriers or viral particles by cell membranes via endocytosis.

Abstract in weiterer Sprache

Elastische Wände sind wichtige Komponenten im Kontext weicher Materie und bestimmen die Transporteigenschaften von Partikeln in Suspension unter Einfluss von Strömung. In dieser Arbeit präsentieren wir eine vollständig analytische Theorie der hydrodynamischen Wechselwirkungen und der Brownschen Bewegung von Nanopartikeln, die in eine Newtonsche Flüssigkeit eingebettet sind und sich in unmittelbarer Nähe zu einer realistisch modellierten elastischen Zellmembran bewegen. Die Membran ist verbunden mit dem vernetzten Zytoskelett der Zelle, das einen Widerstand gegen Scherdeformationenen bietet, und baut sich aus einer Lipiddoppelschicht auf, die einen Widerstand gegen Biegdeformationen bietet. Wir nehmen an, dass die die Partikel umgebende Flüssigkeit durch die linearen Stokes-Gleichungen beschrieben werden kann, wobei die viskosen Kräfte über die Trägheitskräfte dominieren. Diese Näherung ist angebracht aufgrund kleiner Geschwindigkeiten auf Skalen einzelner Zellen. Unsere analytischen Berechnungen basieren auf der Berechnung der Greenschen Funktionen, die das Strömungsfeld aufgrund einer Punktkraft-Singularität widerspiegeln, die in der Nähe der elastischen Membran wirkt. Wir berechnen dann die frequenzabhängigen Mobilitätsfunktionen, die die Kraft und das Drehmoment mit den Translations- und Rotationsgeschwindigkeiten der suspendierten Teilchen in Verbindung setzen. Daraufhin leiten wir analytische Ausdrücke des Diffusionstensors ab, die direkt aus den Mobilitätsfunktionen über das Fluktuationsdissipationstheorem erhalten werden können. Unser wichtigstes Ergebnis ist, dass die elastischen Eigenschaften der Membran einen Gedächtniseffekt im System induzieren, was zu einem langlebigen anomalen subdiffusiven Verhalten der nahe gelegenen Partikel führt.

Die Bestimmung der Greenschen Funktionen in Gegenwart einer elastischen Membran besteht darin, die allgemeine Lösung der Stokes-Gleichungen als Summe eines Bulk-Terms und eines Korrekturterms zu schreiben, der erforderlich ist, um die an der Membran auferlegten Regelmäßigkeits- und Randbedingungen zu erfüllen. Je nach Membrangeometrie verwenden wir drei sehr unterschiedliche analytische Ansätze: (a) zweidimensionale Fourier-Transformation für planare Membranen, (b) Fourier-Bessel-Integral für zylindrische Membranen und (c) Kugelflächenfunktionen für Membranen mit sphärischer Geometrie. Dementsprechend können die Greenschen Funktionen in Form von unendlichen Integralen über die Wellenzahl oder als konvergente unendliche Summen von Kugelflächenfunktionen ausgedrückt werden. In Grenzfall einer verschwindenden Frequenz werden die Greenschen Funktionen identisch mit denen, die in der Nähe einer harten Wand mit Haftbedingung vorhergesagt werden.

Die exakt berechneten Greenschen Funktionen erlauben die Untersuchung des Einfluss der Membran auf die Bewegung von Partikeln, insbesondere wird die Berechnung von Eigen- und Paar-Mobilitätsfunktionen möglich. Diese sind für den Transport von Suspensionen in elastischen Gefäßen relevant. Analytische Ausdrücke für die Mobilitätsfunktionen können durch Berücksichtigung einer Verteilung von Punktkräften über die Teilchenoberfläche erhalten werden. Dennoch beschränken wir uns in den meisten Fällen auf die allgemein verwendete Punktpartikel-Näherung. Letztere repräsentiert die führende Ordnung der Entwicklung der Mobilitätsfunktion als Potenzreihe des Verhältnisses zwischen Partikelradius und Abstand von der Membran für die Eigen-Mobilitäten oder zwischen Partikelradius und Partikelabstand für die Paar-Mobilitäten. Wir zeigen, dass die Punktpartikel-Näherung, trotz ihrer Einfachheit überraschenderweise zu guter Übereinstimmung in den Mobilitätsfunktionen führt verglichen mit numerischen Simulationen von Partikeln mit endlichem Radius.

Die Berechnung der frequenzabhängigen Mobilitätsfunktionen liefert den Gedächtnisterm des Partikel-Membran-Systems und ermöglicht so die Untersuchung der Diffusionsbewegung von Brownschen Partikeln in der Nähe der elastischen Zellmembran über einen generalisierten Langevin-Formalismus. Eine vollständige Charakterisierung der Partikeldiffusion kann durchgeführt werden, indem die mittlere quadratische Verschiebung (MSD) berechnet wird, von der bekannt ist, dass sie im Bulk eine lineare Funktion der Zeit ist. In der Nähe einer elastischen Membran jedoch weist das MSD eine transiente anomale Subdiffusion auf, die auf intermediären Zeitskalen stattfindet und einen Skalierungsexponenten besitzt, der stark von der Distanz zur Membran abhängt. Das MSD im Grenzfall langer Zeiten zeigt ein normales lineares Verhalten und der Diffusionskoeffizient nimmt den nahe an einer harten Wand vorhergesagten Wert an. Unter Verwendung von physikalischen Parametern, die einer Membran eines roten Blutkörperchens entsprechen, finden wir, dass das Subdiffusionsregime die Verweilzeiten und Bindungsraten von nahe gelegenen Nanopartikeln bis zu 50 \% erhöhen kann und daher eine mögliche physiologische Bedeutung für die Aufnahme von medizinisch verwendeten Nanopartikeln oder Viren durch Endozytose aufweist.