From models to applications: Simulation of blood flow with an extended boundary integral method

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Guckenberger, Achim:
From models to applications: Simulation of blood flow with an extended boundary integral method.
Bayreuth , 2018 . - Getr. Zählung
( Dissertation, 2018 , Universität Bayreuth, Fakultät für Mathematik, Physik und Informatik)

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Abstract

Blood is one of the most important fluids in our life. Despite its significance and because of its complex behavior, we are still far away from a comprehensive understanding of its properties. The present thesis elucidates two specific aspects of blood flow from a physical point of view using three-dimensional numerical simulations. First, we show that a single red blood cell flowing in a microchannel can assume two different major stable shapes, called "croissant" and "slipper". Most importantly, both shapes can coexist, i.e. they are stable at the same parameters. This bistability is also observed in corresponding experimental investigations contributed by our collaborators. A detailed comparison uncovers quantitative agreement between both results. Second, we study lipid-coated microbubbles in the context of targeted drug delivery with ultrasound. We find that the special properties of the lipid coating, oscillations caused by the ultrasound and the complex interactions with the red blood cells lead to an effective drug delivery protocol. This is due to the effect of margination which hinges upon the presence of the red blood cells. If the cells are neglected, it becomes impossible to make realistic predictions for such bubbles in blood flow.

Before we are able to perform these two studies, however, we first need to advance the underlying methodology. More precisely, physical research via numerical simulations combines several layers: Physical models, mathematical examinations, algorithms, numerical implementation, validation of the tools and only then their application. The present work makes contributions to each of these layers. Regarding the first layer, we rigorously compare so-called "linear bending models" with the more common Canham-Helfrich model. Both are models for the bending rigidity of deformable objects such as red blood cells. On the mathematical side, we extend the standard periodic boundary integral method to include volume-changing objects in order to enable the study of oscillating microbubbles. For our important case of periodic domains, we provide a mathematical proof that it has exactly one solution. The proof contains as a subset the common boundary integral method without volume-changing objects (for which, so far, no proof in periodic domains existed). Algorithmically, a detailed evaluation of the available algorithms for the Canham-Helfrich model is performed. We uncover that no algorithm provides proper convergence and that some even show an increase of error with higher resolutions. Despite this, sensible results in viscous flows are possible, although existing references still show a remarkable scattering of results. We finish the methodological part with a short section on the numerical implementation with MPI and the validation. In the last part we consider the application of the method, resulting in the above studies.

Abstract in weiterer Sprache

Blut ist eine der wichtigsten Flüssigkeiten in unserem Leben. Doch trotz dessen Bedeutung sind wir noch immer weit von einem umfassenden Verständnis von dessen Eigenschaften entfernt. Dies kann auf das komplexe Verhalten dieses Fluids zurückgeführt werden. Die vorliegende Arbeit behandelt zwei spezifische Aspekte von Blutströmungen aus physikalischer Sicht mit Hilfe von dreidimensionalen numerischen Simulationen. Zum einen wird gezeigt, dass eine einzelne, in einem Mikrokanal fließende rote Blutzelle zwei unterschiedliche und stabile Formen annehmen kann, die "Croissant" und "Slipper" genannt werden. Insbesondere tritt eine Koexistenz beider Formen bei gleichen Parametern auf. Diese Bistabilität findet sich ebenso in entsprechenden Experimenten wieder, die von unseren wissenschaftlichen Partnern durchgeführt werden. Der detaillierte Vergleich der Ergebnisse zeigt eine quantitative Übereinstimmung. Zum anderen untersuchen wir mit Lipiden beschichtete Mikrobläschen in Zusammenhang mit gezielter Medikamentenzufuhr mittels Ultraschall. Wir zeigen, dass die speziellen Eigenschaften der Beschichtung der Bläschen, deren Schwingungen aufgrund des Ultraschalls und deren komplexe Interaktion mit den roten Blutzellen zu einem effizienten Protokoll für Medikamentenzufuhr führen. Dies lässt sich auf den sogenannten "Margination-Effekt" zurückführen, welcher erst aufgrund der Wechselwirkung mit den roten Blutzellen auftritt. Falls die Zellen vernachlässigt werden, sind realistische Vorhersagen für solche Mikrobläschen in Blutströmungen nicht mehr möglich.

Bevor jedoch obige Forschungsprojekte durchgeführt werden können, müssen zunächst die zugrundeliegenden Methodiken untersucht und verbessert werden. Genauer gesagt besteht physikalische Forschung mittels numerischen Simulationen aus mehreren Ebenen, konkret den physikalischen Modellen, mathematischen Betrachtungen, Algorithmen, der numerischen Implementierung, der Validierung und zuletzt deren eigentlichen Anwendung. Die vorliegende Arbeit trägt zu all diesen Ebenen bei. Auf der ersten Ebene vergleichen wir sogenannte "lineare Biegemodelle" mit dem weitverbreiteten Canham-Helfrich Modell. Beide stellen Modelle für die Biegesteifigkeit von deformierbaren Objekten wie rote Blutzellen dar. Von mathematischer Seite her wird daraufhin die normale Randintegralmethode in periodischen Systemen um volumenveränderliche Objekte erweitert, um die Untersuchung mit oszillierenden Mikrobläschen zu ermöglichen. In dem für uns wichtigen Fall eines periodischen Systems wird die Existenz und Eindeutigkeit der Lösung mathematisch bewiesen. Der Beweis enthält als Untermenge den üblichen Fall ohne volumenveränderliche Objekte (für den bisher kein Beweis in periodischen Systemen existierte). Auf algorithmischer Ebene vergleichen und bewerten wir bekannte Algorithmen für die Implementierung des Canham-Helfrich Modells. Es stellt sich heraus, dass keiner eine ordentliche Konvergenz aufweist und der Fehler einiger mit der Auflösung sogar anwächst. Nichtsdestotrotz sind sinnvolle Resultate in viskosen Strömungen möglich, auch wenn Ergebnisse aus der Literatur eine bemerkenswerte Streuung aufweisen. Der Methodenteil wird schließlich mit einem kurzen Abschnitt über die numerische Implementierung mittels MPI und der Validierung abgeschlossen. Im letzten Teil der Arbeit betrachten wir die Anwendung der Methode im Zuge obiger Studien.