Effective Equilibrium, Power Functional, and Interface Structure for Phase-Separating Active Brownian Particles

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Krinninger, Philip:
Effective Equilibrium, Power Functional, and Interface Structure for Phase-Separating Active Brownian Particles.
Bayreuth , 2019 . - 89 S.
( Dissertation, 2019 , Universität Bayreuth, Fakultät für Mathematik, Physik und Informatik)
DOI: https://doi.org/10.15495/EPub_UBT_00004175

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Abstract

In this thesis we approach the physics of active Brownian particles (ABP) and particularly the emergence of motility induced-phase separation (MIPS) by (i) an effective equilibrium description for small activities [1], (ii) a formally exact power functional theory [2, 3], and (iii) a computer simulation study of the free interface between coexisting phases [4]. Active Brownian particles are modeled as spherical particles that obey Brownian motion described by an overdamped Langevin equation of motion. Activity is thereby induced by a self-propulsion force. This force acts along the built-in orientation of each individual particle, and the time dependence
of the orientation is given by an additional Langevin equation that describes free rotational diffusion. This intrinsic out-of-equilibrium system shows a wide variety of phenomena, where phase separation in absence of explicit interparticle attraction between the particles is one of the most
spectacular open problems.

In the effective equilibrium approach the active system is mapped onto a system of passive Brownian particles that interact via a modified effective interparticle interaction [1]. This is achieved by integrating out the orientations. The resulting Langevin equation contains colored
noise. From this equation of motion an approximated Fokker-Planck equation is constructed. In this Fokker-Planck equation an activity-dependent effective interaction force between the particles is identified. In the case of pairwise interaction, the effective interaction can be represented as an activity-dependent effective pair interaction potential. For purely repulsive interaction potentials, an attractive tail develops above an activity threshold. The strength of this attraction increases even further with increasing activity, eventually leading to bulk phase separation. Furthermore, passively attractive interactions are considered, namely the Lennard-Jones potential. In this case, the attractive minimum of the potential weakens at first when activity is increased and suppression of phase separation is observed. Increasing the activity further, the attractive minimum deepens again and a reentrance of phase separation emerges. As the activity determines only the form of the effective interaction and the many-body dynamics resemble the passive dynamics, common methods of liquid state theory can be applied to active systems.
We use them for instance to calculate spinodals and the pair correlation function for the active system. An important part of the work is the validation via computer simulations, where the orientations are not integrated out, i.e., the full many-body problem of ABP is considered. The result is that in all situations presented we find a good match between theory and the simulation.

Despite the success of the effective equilibrium description in many situations, possible applications are rather limited to low activity cases due to the approximations made in the construction of the Fokker-Planck equation. In order to overcome these limitations we develop a power func-
tional theory (PFT) for active particles [2, 3]. Therein, the orientations are considered as additional degrees of freedom and enter the many-body dynamics as such. Starting from the many-body description, i.e., the Smoluchowski equation, power functional theory offers an exact
formalism to determine the correct physical time evolution of the one-body density, the translation, and rotational current distributions from a microscopically defined power functional. We apply this framework to steady states, where the coupling between the translational and rota-
tional dynamics is realized by the self-propulsion force that determines the magnitude of the activity, and we give a simple approximation for the dissipative parts of the power functional that applies to bulk states. Furthermore, we show that in steady state the value of the power
functional is determined by the negative value of half of the external power and is thus trivially related to the swimming of the particles. For soft repulsive spheres we perform Brownian dynamics computer simulations in bulk and develop sampling strategies for the power functional.
Comparing our theory with the numerics shows a good agreement.

Going beyond the bulk properties of ABP that undergo MIPS a detailed study of the interface between the phases is required [4]. The reason is that the dissipation functional presented for the bulk studies [2, 3] denotes only the friction (drag) induced by particle interactions in bulk. For inhomogeneous situations further superadiabatic contributions have to be considered and thus the dissipation functional has to be generalized in order to cover these contributions. As the corresponding manuscript is in preparation [4], results from computer simulations are presented in Sec. 4. In agreement with the literature we find that the interface is polarized and
hence the orientations of the particles are not evenly distributed there (as it would be in bulk). By analyzing the results for the one-body distribution of the density and the current we give an interpretation of the particles’ behavior at the interface. Further insights are provided by the explicit analysis of the orientation dependence of the one-body distributions including an angular Fourier decomposition which is used to describe the anisotropies that emerge at the interface. Our findings serve as a reference point for an extended power functional theory that can describe the physics of the active particles in bulk and at the interface.

Abstract in weiterer Sprache

Diese Dissertation behandelt die statistische Physik aktiver Brownscher Teilchen, im speziellen das Auftreten von Phasenseparation aufgrund der Aktivität der Teilchen. Dazu werden verschiedene Herangehensweisen verwendet: (i) eine Methode, die das aktive System auf ein effektives
Gleichgewichtssystem abbildet [1], (ii) eine formal exakte Powerfunktionaltheorie [2, 3] sowie (iii) die explizite Betrachtung der Grenzfläche, die sich im Falle von Phasenseparation ausbildet, mit Hilfe von Computersimulationen [4]. Die aktiven Schwimmer werden als sphärische Teilchen beschrieben, die Brownscher Bewegung unterliegen, und durch eine überdämpfte Langevin-Bewegungsgleichung modeliert. Die Aktivität wird dabei durch eine Antriebskraft induziert, die in Richtung der Orientierung eines jeden einzelnen Teilchens wirkt. Die Zeitentwicklung der Orientierungen ist durch eine zusätzliche Langevingleichung gegeben und beschreibt freie Rotationsdiffusion. Durch die Aktivität ist das System weg vom thermodynamischen Gleichgewicht getrieben. Aktive Brownsche Teilchen zeigen eine Vielzahl von Phänomenen, von denen die Phasenseparation in Abwesenheit von expliziter Attraktion zwischen den Teilchen im passiven Zustand wohl das spektakulärste offene Problem ist.

Eine Beschreibung des aktiven System als effektives Gleichgewichtssystem wird durch Ausintegration der Orientierung der Teilchen erreicht [1]. Als Ergebnis erhält man eine einzige Langevingleichung, die einen Markov-Prozess beschreibt. Aus dieser wird eine approximierte Fokker-
Planck hergeleitet, in der sich eine effektive Wechselwirkung zwischen den Teilchen identifizieren lässt. Diese hängt in Form und Stärke von der Aktivität ab. Handelt es sich eingangs um eine Paarwechselwirkung zwischen den Teilchen, so ist die resultierende effektive Wechselwirkung
ebenfalls eine Paarwechselwirkung. Zunächst werden Wechselwirkungen betrachtet, die im passiven Fall rein repulsiv sind. Wird die Aktivität über einen bestimmten Schwellwert erhöht, bildet sich im effektiven Potential ein attraktiver Anteil aus. Erhöht man die Aktivität weiter, wird diese Anziehung größer. Dieses Ausbilden von Anziehung zwischen den Teilchen ist der Grund für die Phasenseparation, die im aktiven System auftritt. Für das Lennard-Jones Potential, also eine Wechselwirkung, die auch im passiven Fall Attraktion beinhaltet, zeigt sich, dass bei kleiner Aktivität die Anziehung zwischen den Teilchen abnimmt und die Phasenseparation damit unterdrückt wird. Bei weiterer Erhöhung der Aktivität steigt die Anziehung wieder an und die Phasenseparation setzt wieder ein. Dadurch, dass die Aktivität der Teilchen lediglich die Form des Wechselwirkungspotentials bestimmt, können Methoden angewandt werden, die sonst nur für Systeme im Gleichgewicht anzuwenden sind. So werden beispielsweise die Spinodalen für die Phasenseparation und die Paarkorrelationsfunktion berechnet. Ein wichtiger Teil der Arbeit ist
auch der Vergleich der Ergebnisse der Theorie mit numerischen Simulationen, um die Ergebnisse des Modells zu verifizieren. Dies ist möglich, da für die Simulationen die Orientierungen nicht ausintegriert werden und beide Langevingleichungen iterativ gelöst werden, sprich die gesamte Vielteilchendynamik von ihr abgebildet wird. Dabei ist die Übereinstimmung in allen getesten Fällen sehr gut.

Obwohl die effektive Gleichgewichtsbeschreibung in vielen Situationen sehr gute Ergebnisse liefert, sind ihre möglichen Anwendungsfälle auf Systeme mit niedriger Aktivität beschränkt, da zur Herleitung der Fokker-Planck Gleichung einige vereinfachende Annahmen getroffen werden
müssen. Um diese Einschränkungen zu überwinden, haben wir eine Powerfunktionaltheorie für aktive Teilchen entwickelt [2, 3]. Dabei werden die Orientierungen der Teilchen als zusätzliche Freiheitsgrade betrachtet, die als solche auch zur Vielteilchendynamik beitragen. Ausgehend von
dieser, beschrieben durch die entsprechende Smoluchowski-Gleichung, liefert die Powerfunktionaltheorie einen formal exakten Formalismus, um die korrekte physikalisch realisierte Dynamik der Einteilchendichte- und Einteilchenströmeverteilungen zu erhalten. Wir wenden diese Power-
funktionaltheorie auf stationäre Zustände an, wobei die Kopplung von Translations- und Rotationsdynamik durch eine externe Kraft, die die Aktivität bestimmt, beschrieben wird und geben eine einfache Approximation für den dissipativen Anteil des Powerfunktional für Zustände im Bulk an. In diesem Fall ist der Wert des Powerfunktionals durch die Hälfte des negativen Wertes des externen Funktionals gegeben und ist damit trivial mit der Aktivität der Teilchen verknüpft. Zum Vergleich werden Computersimulationen für weiche Teilchen mit repulsiven Wechselwirkungen im Bulk durchgeführt. Dazu werden auch neue Samplingmethoden entwickelt. Es zeigt sich eine gute Übereinstimmung von Simulationsdaten mit der Theorie, sogar in inhomogenen, also
phasenseparierten, Systemen.

Dennoch reicht eine Betrachtung des Bulks nicht aus, um die Phasenseparation abschließend zu erklären. Dazu ist eine genaue Betrachtung der Grenzfläche zwischen den Phasen nötig, da das Dissipationsfunktional lediglich die durch Wechselwirkung zwischen den Teilchen induzierte Reibung modelliert [4]. Dabei zeigt sich, dass das Dissipationsfunktional zu einem superadiabatischen Funktional verallgemeinert werden muss, um superadiabatische Effekte, die über die
Reibung hinausgehen, mit einzubeziehen. Im Rahmen dieser Studie werden Resultate von Computersimulationen in Kapitel 4 vorgestellt. In Übereinstimmung zur Literatur zeigt sich eine Polarisierung der Grenzfläche, d.h. die Orientierungen sind hier nicht gleichverteilt, wie es im Bulk der Fall ist. Wir analysieren die Einteilchendichte und -ströme und geben darauf basierend eine Interpretation des Verhaltens der Teilchen an der Grenzfläche. Besonders die explizite Betrachtung der Abhängigkeiten der Einteilchenverteilungen der Dichte sowie der Ströme von der
Orientierung bieten weitreichende Möglichkeiten zur Beschreibung der Grenzfläche. Dazu wird die Einteilchendichte in ihrem Orientierungsfreiheitsgrad in Fourierkomponenten entwickelt, die über die Anisotropie der Dichteverteilung an der Grenzfläche Aufschluß gibt. Die Ergebnisse fügen sich gut in den Kontext aktueller Literatur ein und bieten einen Referenzpunkt für die Entwicklung einer erweiterten Powerfunktionaltheorie, die sowohl Bulkeigenschaften als auch die
Grenzflächenphysik beinhaltet.