Forces and symmetries in the statistical mechanics of active and thermal many-body systems

Titelangaben

Hermann, Sophie:
Forces and symmetries in the statistical mechanics of active and thermal many-body systems.
Bayreuth , 2022 . - VII, 156 S.
( Dissertation, 2022 , Universität Bayreuth, Fakultät für Mathematik, Physik und Informatik)
DOI: https://doi.org/10.15495/EPub_UBT_00006810

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Abstract

Noether's theorem of invariant variations is an important mathematical theorem in functional analysis that Emmy Noether derived in 1918 as part of her habilitation thesis. In the physics community her theorem is mainly known for linking the symmetries of a given system to corresponding exact conservation laws. In this thesis we use the invariance of statistical mechanics functionals with respect to several continuous symmetries to determine on the basis of Noether's theorem exact identities for many-body systems.
These statistical mechanical identities are then exploited within various applications, in particular for active Brownian particles, which form a simple nonequilibrium model system of self-propelled entities. The self-propulsion leads to several interesting phenomena including a gas-liquid-like phase transition which even occurs for purely repulsive interparticle interactions and is hence motility-induced. Further application addresses the behaviour of active Brownian particles in a gravitational field confined by a lower bounding wall. Such active sedimentation is experimentally accessible.

We lay out Noether's theorem to statistical mechanics both in the grand canonical and in the canonical ensemble. Therefore, we consider the invariances of various important and fundamental statistical functionals such as the grand potential and the free energy under symmetry operations including spatial shifts and rotations. The argument rests on two facts. On the one hand the invariant functional does not change under the symmetry transformation. On the other hand one can still expand the transformed functional around the original (i.e. non-transformed) functional with respect to the variation parameter.
Comparing the results of either perspective, it becomes apparent that the linear as well as all higher order contributions in the expansion have to vanish individually.
In linear order the procedure yields sum rules that describe the vanishing of mean values such as both global and spatially resolved ("local") forces and torques. In quadratic order the cancellation relates variances and curvatures, e.g. the variance of the external force with a mean curvature of the external potential. Functional differentiation of global first order sum rules gives a full hierarchy of local sum rules which relate several correlation functions that are essential in liquid state theory. While some of the hierarchies are already known in the literature, the identification of the underlying Noether concept enables their systematic derivation and it provides a constructive way to obtain new sum rules. Those sum rules include exact memory identities of nonequilibrium time-correlation functions. The Noether concept generalizes from classical to quantum statistical mechanics as we demonstrate.

The sum rules that Noether's theorem generates hold quite generally in statistical mechanics as long as the system is closed by an impenetrable external potential and no boundary contributions arise. Considering boundary terms is necessary when we apply Noether's theorem to the thermal sedimentation-diffusion equilibrium, active sedimentation, and the phase separation of both active and thermal Brownian particles. For the later system we recover the well-known mechanical pressure balance at phase coexistence and show that this relationship also holds in nonequilibrium for active Brownian particles. Boundary contributions are also crucial for the presented proof of the viral hard wall contact theorem, which states that the density at a hard wall is determined by the virial bulk pressure. The proof itself is based on the global total force balance, which is a direct consequence of the Noether invariance under a global displacement.

We take the continuity equation as the direct origin of an exact sum rule which relates the global polarization at the interface with the current at the system boundaries far away from the interface. This has since been verified experimentally and numerically. In systems that are bounded by bulk states such as sedimentation and motility-induces phase separation of active Brownian particles, the global polarization is solely determined by bulk values and hence constitutes a state function. In both examples we give explicit expressions for this state function. In combination with Noether's theorem the polarization sum rule is then applied to global force balance equations. This combined use of sum rules yields deeper insights into the dynamics of the center of mass motion as we demonstrated for the example of active Brownian particles.

We demonstrate that all applicable sum rules are satisfied within a previously developed theoretical power functional description of the bulk and the interface at motility-induced phase separation of active Brownian particles.
The variational theory works on the basis of forces and rests on the force density balance and the continuity equation. We consider the validity of the sum rules as a strong support of the theory and determine on the basis of this description the free interfacial tension. Using a square gradient approximation for the interfacial force contributions we obtain positive results for the nonequilibrium tension, which is in accordance with the observed mechanical stability of the interface in both simulations and experiments.

Abstract in weiterer Sprache

Das Noether-Theorem über invariante Variationsprobleme ist ein wichtiges Theorem der Funktionalanalysis, das 1918 von der Mathematikerin Emmy Noether im Rahmen ihrer Habilitationsschrift beschrieben wurde. In der Physik ist ihr Theorem vor allem für die Verbindung zwischen den vorliegenden Symmetrien in einem System und den zugehörigen exakten Erhaltungssätzen bekannt. Innerhalb der vorliegenden Dissertation wird die Invarianz von Funktionalen der statistischen Mechanik unter verschiedenen kontinuierlichen Symmetrien verwendet, um auf Basis des Noetherschen Theorems exakte Identitäten für Vielteilchensysteme zu bestimmen. Diese statistischen Identitäten werden für vielfältige Anwendungen verwendet, insbesondere für aktive Brownsche Teilchen, einem einfachen Modellsystem von selbstangetriebenen Objekten im Nichtgleichgewicht. Der Selbstantrieb führt zu mehreren interessanten Phänomenen wie beispielsweise der Phasenseparation in eine gas- und flüssig-ähnliche Phase. Diese Separation tritt selbst bei einem rein repulsiven Wechselwirkungspotential zwischen den Teilchen auf und ist daher durch die Beweglichkeit der Teilchen verursacht. Eine weitere Anwendung beinhaltet das Verhalten aktiver Brownscher Teilchen in einem Gravitationsfeld an einer unteren begrenzenden Wand. Aktive Sedimentation und Phasenseparation sind experimentell zugänglich.

In der Dissertation wird die Anwendung des Noether Theorems für das großkanonische und kanonische Ensemble in der statistischen Mechanik demonstriert. Aus diesem Grund wird die Invarianz von verschiedenen, wichtigen statistischen Funktionalen betrachtet, wie dem großkanonischen Potential oder der freien Energie unter Symmetrievariationen, die räumliche Verschiebungen und Rotationen beinhalten. Die Argumentation stützt sich auf zwei Fakten. Auf der einen Seite ändert sich ein invariantes Funktional nicht unter seiner zugehörigen Symmetrietransformation. Auf der anderen Seite kann man das transformierte Funktional dennoch formal um das ursprüngliche (also das nicht transformierte) Funktional in Abhängigkeit eines Variationsparameters entwickeln. Vergleicht man beide Betrachtungsweisen miteinander, stellt man fest, dass alle Beiträge linear sowie höherer Ordnung im Transformationsparameter jeweils einzeln Null ergeben müssen. In linearer Ordnung folgen aus dieser Bedingung Summenregeln, die das Verschwinden von Erwartungswerten für globale und räumlich aufgelöste ("lokale") Kräfte und Drehmomente beschreiben. In quadratischer Ordnung verknüpft dieses Wegheben Varianzen mit Krümmungsbeiträgen, beispielsweise die Varianz der externen Kraft mit dem Mittelwert der Krümmung des externen Potentials. Die Funktionalableitung von globalen Summenregeln gibt eine vollständige Hierarchie von lokalen Summenregeln, die verschiedene fundamentale Korrelationsfunktionen aus der Flüssigkeitstheorie miteinander in Verbindung setzt. Einige dieser Hierarchien sind bereits in der Literatur bekannt, doch die Identifikation des zugrundeliegenden Noetherschen Konzeptes ermöglicht nun eine systematische Konstruktion neuer Summenregeln. Diese Summenregeln schließen exakte Gedächtnis-Identitäten für Nichtgleichgewichts-Zeitkorrelationsfunktionen mit ein. Das Noether Konzept lässt sich von der klassischen auf die quantenmechanische statistische Mechanik verallgemeinern, wie ebenfalls in der Schrift gezeigt wird.

Die vom Noether Theorem erzeugten Zusammenhänge gelten allgemein in der statistischen Mechanik, solange das betrachtete System durch ein undurchdringliches externes Potential begrenzt wird und entsprechend keine Flussterme am Rand auftreten können. Die Betrachtung von Randbeiträgen wird beispielsweise dann nötig, wenn man das Noether-Theorem auf thermische und aktive Sedimentation oder auf die Phasenseparation von aktiven und thermischen Brownschen Teilchen anwendet. Für Letzteres wird die bekannte mechanische Druck-Bilanz bei Phasenkoexistenz wiedergefunden. Dieses Druckgleichgewicht gilt für aktive Brownsche Schwimmer auch noch im Nichtgleichgewicht. Randbeiträge tragen entscheidend bei zum Beweis des virialen Kontakttheorems der harten Wand, welches die Kontaktdichte an einer harten Wand durch den Virialdruck der zugehörigen Bulk-Phase ausdrückt. Der Beweis selbst basiert auf dem globalen Gleichgewicht der totalen Kraft, das wiederum selbst eine direkte Konsequenz der Noether Invarianz unter einer globalen Verschiebung ist.

Weiterhin verwende ich die Kontinuitätsgleichung als direkten Ursprung für eine weitere exakte Summenregel. Diese setzt die globale Polarisation an der Grenzfläche mit dem Bulkstrom an den Systemgrenzen, weit weg von der Grenzfläche, in Beziehung. Diese Summenregel wurde mittlerweile experimentell und numerisch bestätigt. Für Systeme, die von Bulkphasen begrenzt werden, wie Sedimentation oder bewegungsinduzierte Phasenseparation von aktiven Brownschen Teilchen, ist die globale Polarisation dann nur über Bulkgrößen bestimmt und stellt daher eine Zustandsfunktion dar. In den beiden genannten Beispielfällen werden explizite Ausdrücke für diese Zustandsfunktion angegeben. Man kann sowohl die Noether-Summenregel als auch die Polarisationssummenregel auf die globale Kraftbilanz anwenden. Die kombinierte Verwendung beider Relationen erlaubt es, tiefere Einsichten in die Dynamik der Schwerpunktsbewegung zu gewinnen, wie am Beispiel der aktiven Teilchen explizit gezeigt wird.

Die Gültigkeit der Summenregeln wird demonstriert für eine zuvor entwickelte approximative Theorie für aktive Phasenseperation zur Validierung der Approximation. Diese Variationstheorie arbeitet auf der Basis von Kräften und beruht auf der Kraftdichtebilanz und der Kontinuitätsgleichung. Die nachgewiesene Gültigkeit der Summenregeln dient zur Validierung der Theorie. Auf Grundlage dieser Beschreibung wird die Oberflächenspannung der freien Grenzfläche bestimmt. Unter Verwendung einer quadratischen Gradientennäherung für die nichtlokalen internen Kraftbeiträge wird ein positive Nichtgleichgewichts-Grenzflächenspannung bestimmt, in Übereinstimmung mit der beobachteten mechanischen Stabilität der Grenzfläche.