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Krejčí, Jana:
MCDM methods based on pairwise comparison matrices and their fuzzy extension.
Bayreuth
,
2023
. - VII, 169 S.
(
Dissertation,
2017
, Universität Bayreuth, Rechts- und Wirtschaftswissenschaftliche Fakultät)
DOI: https://doi.org/10.15495/EPub_UBT_00003632
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Abstract
Methods based on pairwise comparison matrices (PCMs) form a significant part of multi-criteria decision making (MCDM) methods. These methods are based on structuring pairwise comparisons (PCs) of objects from a finite set of objects into a PCM and deriving priorities of objects that represent the relative importance of each object with respect to all other objects in the set. However, the crisp PCMs are not able to capture uncertainty stemming from subjectivity of human thinking and from incompleteness of information about the problem that are often closely related to MCDM problems. That is why the fuzzy extension of methods based on PCMs has been of great interest.
In order to derive fuzzy priorities of objects from a fuzzy PCM (FPCM), standard fuzzy arithmetic is usually applied to the fuzzy extension of the methods originally developed for crisp PCMs. However, such approach fails in properly handling uncertainty of preference information contained in the FPCM. Namely, reciprocity of the related PCs of objects in a FPCM and invariance of the given method under permutation of objects are violated when standard fuzzy arithmetic is applied to the fuzzy extension. This leads to distortion of the preference information contained in the FPCM and consequently to false results. Thus, the first research question of the thesis is: Based on a FPCM of objects, how should fuzzy priorities of these objects be determined so that they reflect properly all preference information available in the FPCM? This research question is answered by introducing an appropriate fuzzy extension of methods originally developed for crisp PCMs. That is, such fuzzy extension that does not violate reciprocity of the related PCs and invariance under permutation of objects, and that does not lead to a redundant increase of uncertainty of the resulting fuzzy priorities of objects.
Fuzzy extension of three different types of PCMs is examined in this thesis - multiplicative PCMs, additive PCMs with additive representation, and additive PCMs with multiplicative representation. In particular, construction of PCMs, verifying consistency, and deriving priorities of objects from PCMs are studied in detail for each type of these PCMs. First, well-known and in practice most often applied methods based on crisp PCMs are reviewed. Afterwards, fuzzy extensions of these methods proposed in the literature are reviewed in detail and their drawbacks regarding the violation of reciprocity of the related PCs and of invariance under permutation of objects are pointed out. It is shown that these drawbacks can be overcome by properly applying constrained fuzzy arithmetic instead of standard fuzzy arithmetic to the computations. In particular, we always have to look at a FPCM as a set of PCMs with different degrees of membership to the FPCM, i.e. we always have to consider only PCs that are mutually reciprocal. Constrained fuzzy arithmetic allows us to impose the reciprocity of the related PCs as a constraint on arithmetic operations with fuzzy numbers, and its appropriate application also guarantees invariance of the methods under permutation of objects. Finally, new fuzzy extensions of the methods are proposed based on constrained fuzzy arithmetic and it is proved that these methods do not violate the reciprocity of the related PCs and are invariant under permutation of objects. Because of these desirable properties, fuzzy priorities of objects obtained by the methods proposed in this thesis reflect the preference information contained in fuzzy PCMs better in comparison to the fuzzy priorities obtained by the methods based on standard fuzzy arithmetic.
Beside the inability to capture uncertainty, methods based on PCMs are also not able to cope with situations where it is not possible or reasonable to obtain complete preference information from DMs. This problem occurs especially in the situations involving large-dimensional PCMs.
When dealing with incomplete large-dimensional PCMs, compromise between reducing the number of PCs required from the DM and obtaining reasonable priorities of objects is of paramount importance. This leads to the second research question: How can the amount of preference information required from the DM in a large-dimensional PCM be reduced while still obtaining comparable priorities of objects?
The second research question is answered by introducing an efficient two-phase method. Specifically, in the first phase, an interactive algorithm based on weak-consistency condition is introduced for partially filling an incomplete PCM. This algorithm is designed in such a way that minimizes the number of PCs required from the DM and provides sufficient amount of preference information at the same time. The weak-consistency condition allows for providing ranges of possible intensities of preference for every missing PC in the incomplete PCM. Thus, at the end of the first phase, a PCM containing intervals for all PCs that were not provided by the DM is obtained. Afterward, in the second phase, the methods for obtaining fuzzy priorities of objects from fuzzy PCMs proposed in this thesis within the answer to the first research question are applied to derive interval priorities of objects from this incomplete PCM. The obtained interval priorities cover all weakly consistent completions of the incomplete PCM and are very narrow. The performance of the method is illustrated by a real-life case study and by simulations that demonstrate the ability of the algorithm to reduce the number of PCs required from the DM in PCMs of dimension 15 and greater by more than 60% on average while obtaining interval priorities comparable with the priorities obtainable from the hypothetical complete PCMs.
Abstract in weiterer Sprache
Methoden, die auf Paarvergleichsmatrizen PCMs (Pair Comparison Matrices) basieren, bilden einen wesentlichen Teil der MCDM-Methoden (Multi-Criteria Decision Making). Diese Verfahren basieren auf der Anordnung von Paarvergleichen (PC, Pair Comparisons) der Ziele, einer endlichen Menge von Zielen in einer Paarvergleichsmatrix und der Herleitung von Prioritäten der Ziele, die die relative Wichtigkeit jedes Ziels in Bezug auf alle anderen Ziele in dieser Menge darstellen. Wenn die Werte der Elemente der PCMs exakte Zahlen sind, dann kann die ihnen beizuordnende Unsicherheit nicht erfasst werden. Diese Unsicherheit resultiert aus der Subjektivität des menschlichen Denkens und der Unvollständigkeit von Informationen über das Problem, die beide oft eng mit MCDM-Problemen verbunden sind. Das ist der Grund, warum es von großem Interesse ist, die auf Paarvergleichsmatrizen basierenden Methoden durch Fuzzy-Zahlen zu erweitern.
Um Fuzzy Prioritäten von Zielen aus einer Fuzzy Paarvergleichsmatrix abzuleiten, deren Elemente Fuzzy Zahlen sind (FPCM, Fuzzy Pair Compa-rison Matrix), wird die Fuzzy Standardarithmetik üblicherweise auf die Fuzzy-Erweiterung der ursprünglich für PCMs mit exakten Zahlen entwi-ckelten Verfahren angewendet. Ein solcher Ansatz kann jedoch die Unsi-cherheit von Präferenzinformationen, die in der FPCM enthalten sind, nicht korrekt fortpflanzen, weil die Reziprozität der zugehörigen PCs von Zielen in einer FPCM und die Invarianz des gegebenen Verfahrens unter Permutation von Zielen verletzt werden, wenn eine Standard-Fuzzy-Arithmetik in der Fuzzy-Erweiterung angewendet wird. Dies führt zu ei-ner Verzerrung der in der FPCM enthaltenen Präferenzinformation und folglich zu falschen Ergebnissen. Daher lautet die erste Forschungsfrage der Arbeit: Wie sollten, basierend auf einer Fuzzy-Paarvergleichsmatrix von Zielen, Fuzzy Prioritäten dieser Ziele bestimmt werden, damit sie alle verfügbaren Präferenzinformationen korrekt wiedergeben? Diese For-schungsfrage wird beantwortet, indem eine geeignete Fuzzy Erweite-rung von Methoden eingeführt wird, die ursprünglich für PCMs entwi-ckelt wurden, deren Elemente exakte Zahlen sind. Das bedeutet, dass eine Fuzzy Erweiterung so vorzunehmen ist, dass die Reziprozität der zugehörigen PCs und deren Invarianz unter Permutation von Zielen nicht verletzt wird und keine redundante Erhöhung der Unsicherheit der resul-tierenden Fuzzy Prioritäten von Zielen entsteht.
In dieser Arbeit wird die Fuzzy-Erweiterung von drei verschiedenen Ar-ten von PCMs untersucht - multiplikative PCMs, additive PCMs mit addi-tiver Darstellung und additive PCMs mit multiplikativer Darstellung. Ins-besondere werden die Konstruktion von Paarvergleichs-matrizen, die Überprüfung der Konsistenz und die Ableitung von Prioritäten von Zielen aus Paarvergleichsmatrizen für die drei verschiedenen Arten im Detail untersucht. Zuerst erfolgt ein Übersicht über der in der Praxis am häu-figsten angewandten Verfahren für PCMs, deren Elemente exakte Zah-len sind. Anschließend werden in der Literatur vorgeschlagene Fuzzy-Erweiterungen dieser Methoden detailliert besprochen und es wird dar-gestellt, warum diese die Reziprozität die Invarianz unter Permutation von Zielen nicht bewahren können. Es wird gezeigt, dass diese Nachteile überwunden werden können, indem man anstelle der Standard-Fuzzy-Arithmetik eine eingeschränkte Fuzzy-Arithmetik korrekt in den Berech-nungen angewendet. Insbesondere muss man eine FPCM immer als eine Gruppe von PCMs mit verschiedenen Zugehörigkeitsgraden zur FPCM ansehen, d. h. man darf immer nur Paarvergleiche betrachten, die ge-genseitig reziprok sind. Diese eingeschränkte Fuzzy-Arithmetik ermög-licht es, die Reziprozität der verwandten Paarvergleiche als eine Neben-bedingung für arithmetische Operationen mit Fuzzy-Zahlen festzulegen, deren geeignete Anwendung auch die Invarianz der Methoden unter Permutation von Zielen erhält. Schließlich werden neue Fuzzy Erweite-rungen der Methoden vorgeschlagen, die auf einer durch die Nebenbe-dingung eingeschränkten Fuzzy-Arithmetik beruhen, und es wird bewie-sen, dass diese Methoden die Reziprozität der verwendeten PCs und deren Invarianz unter Permutation der Ziele erhalten. Aufgrund dieser wünschenswerten Eigenschaften spiegeln Fuzzy-Prioritäten von Zielen, die durch die in dieser Arbeit vorgeschlagenen Verfahren erhalten wer-den, die in Fuzzy- Paarvergleichsmatrizen enthaltene Präferenz-information besser als Verfahren, die mittels Standard-Fuzzy-Arithmetik erhalten werden.
Verfahren die auf Paarvergleichsmatrizen basieren, deren Elemente exakte Zahlen sind, können weder Unsicherheiten erfassen noch Situati-onen bewältigen, in denen es nicht möglich oder sinnvoll ist, vollständige Präferenzinformationen vom DM zu erhalten. Dieses Problem tritt insbe-sondere in Situationen auf, in denen großdimensionale Paar-vergleichsmatrizen auftreten.
Bei unvollständigen großdimensionalen Paarvergleichsmatrizen ist es sehr wichtig, einen Kompromiss zwischen der Reduzierung der Anzahl von PCs, die vom DM benötigt werden, und dem Erzielen angemessener Prioritätsausprägungen der Ziele zu finden. Dies führt zu der zweiten Forschungsfrage: Wie kann die Menge an Präferenzinformation, die von dem DM in einem großdimensionalen PCM benötigt wird, so reduziert werden, dass dennoch Prioritätsvergleiche von Zielen erhalten werden?
Als Antwort auf die zweite Forschungsfrage wird eine effiziente zwei-phasige Methode eingeführt. Insbesondere wird dabei in der ersten Phase ein interaktiver Algorithmus eingeführt, der basierend auf einer schwachen Konsistenzbedingung, eine unvollständige Paarvergleichs-matrix teilweise füllt. Dieser Algorithmus ist so konzipiert, dass die Anzahl der Paarvergleiche, die ein DM (Decision Maker) abfragen muss, auf ein Minimum reduziert wird, aber dennoch eine ausreichende Anzahl von Präferenzinformationen bleibt. Die schwache Konsistenzbedingung er-möglicht es, Bandbreiten möglicher Präferenzausprägungen für jeden fehlenden Paarvergleich in der unvollständigen Paarvergleichsmatrix bereitzustellen. Dadurch wird am Ende der ersten Phase eine Paarver-gleichsmatrix erzeugt, deren Elemente Intervalle enthält, die nicht vom DM bereitgestellt wurden. Anschließend, in der zweiten Phase, werden die in der vorliegenden Arbeit vorgeschlagenen Methoden zur Generie-rung von Fuzzy-Prioritäten der Ziele aus Fuzzy-Paarvergleichsmatrizen zur Beantwortung der ersten Forschungsfrage herangezogen, um Inter-vallprioritäten von Zielen aus dieser unvollständigen Paarvergleichs-matrix abzuleiten. Die erhaltenen Intervalle zur Prioritätsangabe sind sehr eng und decken alle schwach konsistenten Vervollständigungen der unvollständigen Paarvergleichsmatrix ab. Die Leistungsfähigkeit der Me-thode wird durch eine reale Fallstudie und durch Simulationen veran-schaulicht. Dabei wird die Fähigkeit des Algorithmus gezeigt, die Anzahl der Paarvergleiche, die vom DM in einer Paarvergleichsmatrix für 15 und mehr Ziele benötigt werden, im Mittel um mehr als 60% zu reduzieren, aber dennoch Intervalle für die Prioritätsausprägungen zu generieren, die vergleichbar sind mit den Intervalle, die von hypothetischen vollstän-digen Paarvergleichsmatrizen abgeleitet werden.