From many-body systems to the one-body force and torque balance equations in and out of equilibrium

Titelangaben

Renner, Johannes:
From many-body systems to the one-body force and torque balance equations in and out of equilibrium.
Bayreuth , 2023 . - 77 S.
( Dissertation, 2023 , Universität Bayreuth, Fakultät für Mathematik, Physik und Informatik)
DOI: https://doi.org/10.15495/EPub_UBT_00007228

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Abstract

This theoretical thesis studies many-body systems of interacting particles
in and out of equilibrium. To rationalize the physics of many-body systems
it is necessary to coarse grain their large number of degrees of freedom.
By coarse graining the degrees of freedom of all except one particle, an exact
one-body force balance equation resolved in space and in time arises.
In systems made of anisotropic particles, the force balance equation is
complemented with an exact one-body torque balance equation.
The force and the torque balance equations contain several contributions such
as internal, external, and transport terms, that together determine the physics of the
system at the one-body level. This includes for example the dynamical evolution
of the one-body fields, such as the density and the velocity profiles,
in non-equilibrium systems.

Using computer simulations we study many-body systems of isotropic and aniso-tropic
particles following Newtonian, Langevin and Brownian dynamics.
We sample all terms contributing to the one-body balance equations
and use the results to formulate accurate approximations to the unknown
contributions, such as the internal force field.
Besides this, we also develop computer simulation methods based on the exact
one-body force and torque balance equations. These methods allow us
to find the external force that generates the desired time evolution, as
well as to improve the sampling efficiency of the orientational distribution
function in systems of anisotropic particles.

First, we develop a custom flow method for molecular dynamics simulations of
isotropic particles. Custom flow is based on the force balance equation and it
finds numerically the external force field that generates the desired, prescribed,
dynamics of the system. For given space and time resolved density and velocity
profiles, custom flow finds iteratively the space and time resolved external force
field that generates such one-body kinematic fields. Beyond its practical applications
in computer simulations, custom flow also demonstrates numerically the fundamental
mapping between the internal force field and the one-body kinematic fields postulated
in power functional theory. We demonstrate the validity of the method with several test
cases which include a slow-motion dynamics of a non-equilibrium process
and the complete prescription of the time evolution between two equilibrium states.
We also show that custom flow can be used together with thermostat algorithms designed
to control the temperature.

We use custom flow to investigate in detail the unknown contributions to the one-body
force balance equation, namely the internal force field and the momentum transport term, the latter
is given by the divergence of the kinetic stress tensor. With custom flow we design two
model flows: a pure shear flow and a pure bulk (compressible) flow. In both cases
the current factorizes into temporal and spatial parts, being the temporal part common to both
flows. Moreover, the density profile remains stationary during the whole time evolution.
These imposed flow characteristics help us to rationalize and to construct
accurate approximations for both the internal force field and the transport term.

We demonstrate that the internal force field contains superadiabatic contributions that
are generated by the flow, and are hence genuine non-equilibrium forces. The superadiabatic forces can be split into structural and viscous components, depending
on their behaviour upon flow reversal. Moreover, we unambiguously demonstrate that the
acceleration field contributes to generate the superadiabatic forces, in agreement
with the predictions of power functional theory. The behaviour of the kinematic stress
tensor in non-equilibrium is rather complex. We split it into an idealized term that
is generated by the velocity profile only, and an excess term that contains the
velocity fluctuations. A detailed analysis shows that the excess term contains also
viscous and structural components.

Beyond isotropic systems, we also study systems with orientational degrees of
freedom. Based on the one-body torque balance equation for many-body systems
of interacting anisotropic particles, we develop a torque sampling method to
measure with high efficiency the orientational distribution function in computer
simulations. The method samples the torques acting on each particle, and uses
them to construct the orientational distribution function via the exact torque balance equation.
We demonstrate the advantage of the torque sampling method by testing it against
the traditional counting method in several model situations. We consider cases that
differ in the overall density, the dimensionality, the type of dynamics, the type
of orientational order, and the interparticle interaction potential. In all cases torque sampling
delivers better results than the counting method. Moreover, the accuracy in torque
sampling is independent of the angular resolution of the bin. Hence,
it is possible to sample the orientational distribution function with arbitrarily
small angular resolutions.

Abstract in weiterer Sprache

In dieser theoretischen Dissertation untersuchen wir Vielteilchensysteme, bestehend aus miteinander wechselwirkenden Teilchen, im Gleichgewicht und im Nichtgleich-gewicht. Um die Physik von Vielteilchensystemen verständlich darzustellen, ist es notwendig die große Anzahl an Freiheitsgraden zu reduzieren. Integriert man über alle Freiheitsgrade bis auf die eines Teilchens, ergibt sich eine exakte Gleichung für das Einteilchenkräftegleichgewicht abhängig von Raum und Zeit. In Systemen mit anisotropen Teilchen ergibt sich zusätzlich zum Kräftegleichgewicht noch eine exakte Gleichung für das Drehmomentengleichgewicht. Die Gleichungen für Kräfte- und Drehmomentengleichgewicht beinhalten mehrere Beiträge, wie interne und externe Terme sowie Transportterme, die zusammen die Physik des Systems auf dem Einteilchenniveau bestimmen. Dies beinhaltet zum Beispiel die Zeitentwicklung der Einteilchenfelder, wie Dichte- und Geschwindigkeitsprofil, in Nichtgleichgewichtssystemen.

Wir verwenden Computersimulationen, um Vielteilchensysteme isotroper und anisotroper Teilchen zu untersuchen. Die Teilchen bewegen sich gemäß Newtonscher, Langevin und Brownscher Dynamik. Wir samplen alle Terme, die zu den Einteilchengleichgewichtsgleichungen beitragen, und verwenden die Resultate, um genaue Näherungen für die unbekannten Beiträge zu formulieren, zum Beispiel für das interne Kraftfeld. Desweiteren entwickeln wir Methoden für Computersimulationen basierend auf den Gleichungen fürs Kräfte- und Drehmomentengleich-gewicht. Diese Methoden erlauben es uns das externe Kraftfeld zu bestimmen, das eine gewünschte Zeitentwicklung der Dichte und des Stromes generiert, sowie die Samplingeffizienz der Orientierungsverteilungsfunktion in Systemen mit anisotropen Teilchen zu verbessern.

Als Erstes entwickeln wir eine custom flow Methode für Molekulardynamik Simulationen isotroper Teilchen. Custom flow basiert auf der Gleichung fürs Kräftegleich-gewicht und findet numerisch das externe Kraftfeld, das die gewünschte Dynamik des Systems generiert. Für gegebene, in Raum und Zeit aufgelöste, Dichte- und Geschwindigkeitsprofile findet custom flow iterativ das zugehörige, in Raum und Zeit aufgelöste, externe Kraftfeld. Über die praktische Anwendung in Compu-tersimulationen hinaus zeigt custom flow numerisch die fundamentale Abbildung zwischen dem internen Kraftfeld und den kinematischen Einteilchenfeldern, welche von der Powerfunktionaltheorie vorausgesagt wird. Wir validieren die Methode mit mehreren Testfällen, welche eine verlangsamte Dynamik eines Nichtgleichgewichts-prozesses und eine komplett vorgeschriebene Zeitentwicklung zwischen zwei Gleich-gewichtszuständen beinhaltet. Ferner zeigen wir, dass custom flow zusammen mit Thermostatalgorithmen verwendet werden kann, welche die Temperatur in einem System kontrollieren.

Als Nächstes benutzen wir custom flow, um die unbekannten Beiträge zum Kräftegleichgewicht detailliert zu untersuchen. Diese Beiträge sind das interne Kraftfeld und der Impulstransportterm, wobei letzterer durch die Divergenz des kinetischen Spannungstensors gegeben ist. Wir designen mit custom flow zwei Mo-dellflüsse: einen reinen Scherfluss und einen reinen kompressiblen Fluss. In beiden Fällen faktorisiert der Strom in einen zeitlichen und einen örtlichen Teil, wobei der zeitliche Teil für beide Flüsse gleich ist. Ferner bleibt das Dichteprofil für die komplette Zeitentwicklung stationär. Diese vorgegebenen Flusseigenschaften helfen uns das interne Kraftfeld und den Transportterm zu verstehen und genaue Näherungen zu konstruieren.

Wir zeigen, dass das interne Kraftfeld superadiabatische Beitrage beinhaltet, die durch den Fluss erzeugt wurden und daher Nichtgleichgewichtskräfte sind. Abhängig vom Verhalten der superadiabatischen Kräfte bei Flussumkehr können diese in strukturelle und viskose Komponenten aufgespalten werden. Desweiteren zeigen wir eindeutig, dass das Beschleunigungsfeld zur Erzeugung der superadiabatischen Kraft beiträgt, wie von der Powerfunktionaltheorie vorhergesagt. Das Verhalten des kinematischen Spannungstensors ist im Nichtgleichgewicht komplex. Wir teilen ihn in einen faktoriesierten Term, der nur vom Geschwindigkeitsprofil erzeugt wird, und einen Exzessterm, der die Geschwindigkeitsfluktuationen beinhaltet, auf. Eine detaillierte Analyse zeigt, dass der Exzessterm auch viskose und strukturelle Komponenten enthält.

Über isotrope Systeme hinausgehend betrachten wir Systeme mit Orientierungsfreiheitsgraden. Basierend auf der Einteilchengleichung fürs Drehmomentengleich-gewicht von Vielteilchensystemen wechselwirkender anisotroper Teilchen entwickeln wir eine Samplemethode, um die Orientierungsverteilungsfunktion mit hoher Effizienz in Computersimulationen zu messen. Die Methode sampled die auf jedes Teilchen wirkenden Drehmomente und nutzt sie, um die Orientierungsverteilungsfunktion mithilfe der Gleichung fürs Drehmomentengleichgewicht zu berechnen. Wir zeigen die Vorteile der auf Drehmomente basierenden Samplemethode auf, indem wir sie mit der traditionellen Zählmethode für mehrere Modellsituationen vergleichen. Wir betrachten Fälle, die sich in der Dichte, der Dimensionalität, der Art der Dynamik, der Orientierungsordnung und dem Wechselwirkungspotential unterscheiden. In allen Fällen liefert die auf Drehmomenten basierte Samplemethode bessere Resultate als die Zählmethode. Ferner hängt erstere nicht von der Winkelauflösung des Rasters ab, was es ermöglicht die Orientierungsverteilungsfunktion mit beliebig kleinem Winkelabstand zu samplen.