Shape Calculus Applied to State-Constrained Elliptic Optimal Control Problems

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Frey, Michael:
Shape Calculus Applied to State-Constrained Elliptic Optimal Control Problems.
Bayreuth , 2012 . - IX, 182 S.
( Dissertation, 2012 , Universität Bayreuth, Fakultät für Mathematik, Physik und Informatik)

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Abstract

This thesis is devoted to the analysis of a very simple, pointwisely state-constrained optimal control problem of an elliptic partial differential equation. The transfer of an idea from the field of optimal control of ordinary differential equations, which proved fruitful with respect to both theoretical treatment and design of algorithms, is the starting point. On this, the state inequality constraint, which is regarded as an equation inside the active set, is differentiated in order to obtain a control law. A geometrical splitting of the constraints is necessary to carry over this approach to the chosen model problem. The associated assertions are rigorously ensured. The subsequent derivation of a control law in the sense of the abovementioned idea yields an equivalent reformulation of the model problem. The active set appears as an independent and equal optimization variable in this new formulation. Thereby a new class of optimization problem is established, which forms a hybrid of optimal control and shape-/topology optimization: set optimal control. This class is integrated into the very abstract framework of optimization on vector bundles; for that purpose some important notions from the field of calculus on manifolds are introduced and related with shape calculus. First order necessary conditions of the set optimal control problem are derived by means of two different approaches: on the one hand a reduced approach via the elimination of the state variable, which uses a formulation as bilevel optimization problem, is pursued, and on the other hand a formal Lagrange principle is presented. A comparison of the newly obtained optimality conditions with those known form literature yields relations between the Lagrange multipliers; in particular, it becomes apparent that the new approach involves higher regularity. The comparison is embedded to the theory of partial differential-algebraic equations, and it is shown that the new approach yields a reduction of the differential index. Upon investigation of the gradient and the second covariant derivative of the objective functional different Newton- and trial algorithms are presented and discussed in detail. By means of a comparison with the well-established primal-dual active set method different benefits of the new approach become apparent. In particular, the new algorithms can be formulated in function space without any regularization. Some numerical tests illustrate that an efficient and competitive solution of state-constrained optimal control problems is achieved. The whole work gives numerous references to different mathematical disciplines and encourages further investigations. All in all, it should be regarded as a first step towards a more comprehensive perspective on state-constrained optimal control of partial differential equations.

Abstract in weiterer Sprache

Die vorliegende Arbeit befasst sich mit der Analyse eines sehr einfachen elliptischen Optimalsteuerungsproblems mit punktweisen Zustandsbeschränkungen. Ausgangspunkt ist die Übertragung einer Idee, die sich im Bereich der Optimalsteuerung gewöhnlicher Differenzialgleichungen sowohl bei theoretischer Behandlung als auch beim Entwurf von Lösungsalgorithmen als fruchtbar erwiesen hat. Hierzu wird die Zustandsbeschränkung in der aktiven Menge als Gleichung gesehen, aus der durch Differenziation ein Steuergesetz hergeleitet werden kann. Um diese Herangehensweise auf das gewählte Modellproblem übertragen zu können, ist eine gebietsweise Aufspaltung der Nebenbedingung nötig, was durch den Beweis entsprechender Aussagen abgesichert wird. Die anschließende Herleitung eines Steuergesetzes im Sinne obengenannter Idee führt zu einer äquivalenten Umformulierung des Modellproblems. Die neue Formulierung beinhaltet die aktive Menge in natürlicher Art und Weise als eigenständige Optimierungsvariable, wodurch eine neuartige Klasse von Optimierungsproblemen begründet wird, die einen Hybrid aus Optimalsteuerung und Form-/Topologieoptimierung darstellt: Mengen-Optimalsteuerung. Diese Klasse wird eingebettet in einen sehr abstrakten Rahmen der Optimierung auf Vektorbündeln; hierzu werden insbesondere relevante Begriffe aus dem Bereich der Differenzialrechnung auf Mannigfaltigkeiten eingeführt und mit dem „Shape calculus“ in Beziehung gesetzt. Auf zwei verschiedenen Wegen werden notwendige Optimalitätsbedingungen erster Ordnung für das Mengen-Optimalsteuerungsproblem hergeleitet: einerseits wird ein reduktionistischer Ansatz verfolgt, der die Zustandsvariable eliminiert und hier über eine Bilevelproblemformulierung führt, andererseits wird der Weg eines formalen Lagrangeprinzips präsentiert. Ein Vergleich der neu erhaltenen Optimalitätsbedingungen mit denen aus der Literatur bekannten ermöglicht es Beziehungen zwischen Lagrangemultiplikatoren herzustellen; insbesondere wird klar, dass die neue Herangehensweise Regularitätsverbesserungen mit sich bringt. Der Vergleich der notwendigen Bedingungen wird eingebettet in die Theorie partiell differential-algebraischer Gleichungen und es wird nachgewiesen, dass man durch den neuen Ansatz eine Indexreduktion erhält. Auf Basis der Untersuchung von Gradient und zweiter kovarianter Ableitung des Zielfunktionals werden verschiedene Newton- und Trialverfahren vorgestellt und eingehend untersucht. Durch einen Vergleich mit der etablierten primal-dualen aktiven Mengenstrategie werden verschiedene Vorzüge des neuen Ansatzes herausgearbeitet. Insbesondere sind die neuen Algorithmen ohne Regularisierung im Funktionenraum formulierbar. Verschiedene numerische Test zeigen, dass der neue hier verfolgte Ansatz die effiziente und konkurrenzfähige Lösung von zustandsbeschränkten Optimalsteuerungsproblemen ermöglicht. Die gesamte Arbeit liefert zahlreiche Querbezüge zu anderen mathematischen Teilgebieten und regt an diese weiter zu verfolgen. Insgesamt ist sie als ein erster Schritt zu einer umfassenderen Betrachtung der zustandsbeschränkten Optimalsteuerung bei partiellen Differenzialgleichungen zu betrachten.