Optimal control of a Vlasov-Poisson plasma by an external magnetic field

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Knopf, Patrik:
Optimal control of a Vlasov-Poisson plasma by an external magnetic field.
Bayreuth , 2017 . - 115 S.
( Dissertation, 2017 , Universität Bayreuth, Fakultät für Mathematik, Physik und Informatik)

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Abstract

We consider the three dimensional Vlasov-Poisson system in the plasma physical case. It describes the time evolution of the distribution function of a very large number of electrically charged particles. These particles move under the influence of a self-consistent electric field that is given by Poisson's equation.

Our intention is to control the distribution function of the plasma by an external magnetic field. At first we will introduce the basics for variational calculus. Then we discuss two model problems where the distribution function is to be controlled in such a way that it matches a desired distribution function at some certain point of time as closely as possible. Those model problems will be analyzed with respect to the following topics:
- existence of a globally optimal solution,
- necessary conditions of first order for locally optimal solutions,
- derivation of an optimality system,
- sufficient conditions of second order for locally optimal solutions,
- uniqueness of the optimal control under certain conditions.

Abstract in weiterer Sprache

Wir betrachten das dreidimensionale Vlasov-Poisson-System im elektrostatischen Fall. Es beschreibt die zeitliche Entwicklung der Verteilungsdichtefunktion eines sehr großen Ensembles elektrisch geladener Teilchen. Diese bewegen sich unter dem Einfluss eines selbst erzeugten elektrischen Felds.

Das Ziel ist es nun, diese Verteilungsdichte über ein externes Magnetfeld zu steuern. Dazu führen wir zunächst die dafür notwendigen Grundlagen zur Variationsrechnung ein. Anschließend werden zwei Modelprobleme diskutiert bei denen die Stuerung so angepasst werden soll, dass die Verteilungsdichte zu einem festen Zeitpunkt mit einer gewünschten Verteilungsdichte möglichst genau übereinstimmt. Folgende Aspekte werden dabei analysiert:
- die Existenz einer globalen optimalen Lösung,
- notwendige Bedingungen erster Ordnung für lokale optimale Lösungen,
- die Herleitung eines Optimalitätssystems,
- hinreichende Bedingungen zweiter Ordnung für lokale optimale Lösungen,
- Eindeutigkeit der optimalen Steuerung unter gewissen Bedingungen.