Stability and Oscillations of Star Clusters in General Relativity

Titelangaben

Wolfschmidt, Sebastian:
Stability and Oscillations of Star Clusters in General Relativity.
Bayreuth , 2024 . - XIV, 268 S.
( Dissertation, 2023 , Universität Bayreuth, Bayreuther Graduiertenschule für Mathematik und Naturwissenschaften - BayNAT)
DOI: https://doi.org/10.15495/EPub_UBT_00007337

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Abstract

We study the dynamics of self-gravitating, collisionless matter in general relativity using the Einstein-Vlasov system, for which we consider the spherically symmetric, asymptotically flat case. We construct singularity-free stationary solutions and shells surrounding a black hole at the center. The properties of these steady states are thoroughly examined, including the single-well structure of the corresponding effective potential and the period function for particle motions. In the process, we introduce action-angle type variables. A numerical investigation provides further insights and evidence for the single-well structure for general isotropic steady states. We show that the metric coefficients, source terms, period function, and further macroscopic quantities are continuous along the redshift $\kappa$.

The linearized Einstein-Vlasov system around a fixed steady state is represented by a second-order evolution equation that is characterized by an Antonov-type operator~$\L$. We prove that the essential spectrum of $\L$ is strictly positive. By establishing a Birman-Schwinger principle, we characterize the issue of linear stability through a variational principle for the Mathur operator $\M$, which is a one-dimensional Hilbert-Schmidt operator. In addition, we obtain a quantitative bound on the number of unstable modes. As an application, we show that small shells surrounding a black hole are linearly stable.

By employing a continuity argument along the redshift, we prove that the Antonov operator has an isolated, positive eigenvalue under rather general assumptions. This leads directly to the existence of a linearly oscillating mode for the linearized system. In order to obtain this result, we show the continuity in $\kappa$ of a projection operator that is not explicitly known and arises in the definition of the Mathur operator.

We numerically investigate non-linear stability with a particle-in-cell method. The study reveals different types of behavior for slightly perturbed equilibria: For stable steady states, we observe oscillating and damped solutions. Unstable configurations (fully or partially) collapse, disperse via a heteroclinic orbit, or perform a homoclinic orbit. The binding energy hypothesis is examined, and evidence for the existence of families of steady states with multiple stability changes is presented.

Linear stability is probed numerically by approximating the infimum of the spectrum of $\L$. The results show that linear and non-linear stability coincide. We confirm the existence of multiple stability changes on the linearized level. In addition, we investigate the existence of oscillating solutions and explore damping effects for isotropic polytropes.

Abstract in weiterer Sprache

Die Dynamik von selbstgravitierender, kollisionsfreier Materie in der allgemeinen Relativitätstheorie wird mit Hilfe des Einstein-Vlasov-Systems modelliert, wobei der sphärisch symmetrische, asymptotisch flache Fall betrachtet wird. Es werden singularitätsfreie stationäre Lösungen und Schalen mit schwarzem Loch im Zentrum konstruiert. Die Eigenschaften dieser stationären Zustände werden gründlich untersucht, einschließlich der \enquote{single-well}-Struktur des zugehörigen effektiven Potentials und der Periodenfunktion für Teilchenbewegungen. Dabei werden Variablen vom Typ der Wirkungs-Winkelkoordinaten eingeführt. Es wird gezeigt, dass die metrischen Koeffizienten, die Quellterme, die Periodenfunktion und weitere makroskopische Größen längs der Rotverschiebung $\kappa$ stetig sind.

Das linearisierte Einstein-Vlasov-System um einen festen stationären Zustand wird durch eine Evolutionsgleichung zweiter Ordnung repräsentiert, der durch einen Antonov-Operator $\L$ charakterisiert wird. Es wird bewiesen, dass das wesentliche Spektrum von $\L$ strikt positiv ist. Über ein Birman-Schwinger-Prinzip wird das Problem der linearen Stabilität durch ein Variationsprinzip für den Mathur-Operator $\M$ charakterisiert, welcher ein eindimensionaler Hilbert-Schmidt-Operator ist. Darüber hinaus erhält man eine quantitative Schranke für die Anzahl der instabilen Moden. Als Anwendung wird gezeigt, dass kleine Schalen, die ein Schwarzes Loch umgeben, linear stabil sind.

Durch Anwendung eines Stetigkeitsarguments entlang der Rotverschiebung wird unter recht allgemeinen Annahmen bewiesen, dass der Antonov-Operator einen isolierten, positiven Eigenwert besitzt. Dies führt direkt zur Existenz einer linear oszillierenden Mode für das linearisierte System. Um dieses Ergebnis zu erhalten, wird die Stetigkeit in $\kappa$ eines nicht explizit bekannten Projektionsoperators gezeigt, welcher in der Definition des Mathur-Operators auftritt.

Eine numerische Untersuchung der nichtlinearen Stabilität wird mithilfe einer \enquote{particle-in-cell}-Methode durchgeführt. Die Studie zeigt verschiedene Arten von Verhalten für leicht gestörte Gleichgewichte: Oszillierende und gedämpfte Lösungen werden für stabile stationäre Zustände beobachtet. Instabile Konfigurationen kollabieren (komplett oder teilweise), zerfließen über einen heteroklinen Orbit oder führen einen homoklinen Orbit aus. Die Bindungsenergie-Hypothese wird geprüft, und es wird Evidenz für die Existenz von Familien stabiler Zustände mit mehreren Stabilitätswechseln präsentiert.

Lineare Stabilität wird numerisch untersucht, indem das Infimum des Spektrums von~$\L$ approximiert wird. Die Ergebnisse zeigen eine Übereinstimmung zwischen linearer und nicht-linearer Stabilität. Die Existenz von mehrfachen Stabilitätswechseln wird auf der linearisierten Ebene bestätigt. Darüber hinaus wird die Existenz von oszillierenden Lösungen untersucht und Dämpfungseffekte für isotrope polytrope Zustände erforscht.