The Rosensweig instability in isotropic magnetic gels

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Bohlius, Stefan:
The Rosensweig instability in isotropic magnetic gels.
Bayreuth , 2008
( Dissertation, 2008 , Universität Bayreuth, Fakultät für Mathematik, Physik und Informatik)

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Abstract

Die vorliegende Arbeit befasst sich mit der nichtlinearen theoretischen Analyse der Rosensweig Instabilität in isotropen magnetischen Gelen. Die Rosensweig Instabilität beschreibt den Übergang einer zunächst flachen Oberfläche zwischen einer magnetischen Flüssigkeit zu einer hexagonal geordneten Stacheloberfläche, sobald ein senkrecht zur flachen Oberfläche angelegtes homogenes Magnetfeld einen bestimmten kritischen Wert überschreitet. Startet man den Vernetzungsprozess in einer Mischung aus Polymeren, Vernetzungsreagenzien und einem Ferrofluid, so erhält man ein isotropes Ferrogel, ein elastisches Medium, welches zusätzlich superparamagnetisches Verhalten aufweist. Theoretisch lässt sich zeigen, dass auch die Oberfläche dieser Medien in einem angelegten Magnetfeld instabil wird, wobei die typische Wellenlänge im Vergleich zu gewöhnlichen Ferrofluiden unverändert bleibt, während die kritische Magnetfeldstärke mit wachsendem elastischen Schermodul steigt. Besondere Aufmerksamkeit kommt in der Diskussion dem stationären Charakter der Rosensweig Instabilität zu. Dieser ist, wie sich herausstellt, als ein Grenzprozess zu interpretieren, bei welchem die Dynamik der charakteristischen Mode mit Annäherung an die Schwelle immer stärker verlangsamt wird und schließlich zu einem statischen Oberflächenmuster führt. Der Grund für dieses Grenzverhalten ist in der deformierbaren Oberfläche und im Besonderen in der daraus resultierenden kinematischen Randbedingung zu sehen. Unter Anwendung der Energiemethode nach Gailitis, wird die Oberflächenenergiedichte bezüglich regulärer Streifen, Quadrate und Hexagone minimiert. Es zeigt sich, dass am Einsatz der Instabilität Hexagone das energetisch favorisierte Oberflächenmuster sind. Für hohe Magnetfeldstärken hingegen bilden Quadrate die bevorzugte Anordnung. Die Energiemethode hat jedoch bedeutende Nachteile, die als Motivation für eine schwach nichtlineare Analyse der fundamentalen hydrodynamischen Gleichungen und der Herleitung einer Amplitudengleichung dienen. Ganz besondere Beachtung verdient dabei die Bestimmung des adjungierten Systems für die Rosensweig Instabilität. Dieses ist zur Befriedigung der Fredholmschen Alternative, die wiederum die Amplitudengleichungen liefert, von zentraler Bedeutung. Zur Herleitung der adjungierten Gleichungen und der dazugehörigen Randbedingungen wird die Erkenntnis aus der Diskussion der linearen Instabilität, dass das System als dynamisch zu betrachten und der statische Grenzfall erst am Ende zu vollziehen ist, benutzt. Des weiteren stellt es sich als wichtig heraus, die Gleichungen zunächst für ein kompressibles Medium zu adjungieren und ebenfalls erst am Ende die Näherung für inkompressible Medien zu bestimmen. Das adjungierte System wird ebenfalls für die Marangoni Instabilität bestimmt. Dort induzieren Temperaturfluktuationen an der Oberfläche eines Fluids Fluktuationen der Oberflächenspannung, die wiederum Konvektion hervorrufen. Mit Hilfe der Lösungen des adjungierten Systems lassen sich nun die Lösbarkeitsbedingungen in der zweiten und dritten Störungsordnung erfüllen und man erhält letztlich die Amplitudengleichung. Im Rahmen unser Näherungen entkoppeln die hydrodynamischen Volumengleichungen von denen des Magnetfeldes. Allerdings müssen die Lösungen auch noch den Randbedingungen genügen und im Besonderen ist die normale Randbedingungen in den höheren Ordnungen nicht trivial erfüllt. Vielmehr liefert sie noch eine zusätzliche Bedingung zur Fredholmschen Alternative. In der Arbeit wird zum ersten Mal der quadratische Koeffizient aus den fundamentalen hydrodynamischen Gleichungen abgeleitet. Dieser garantiert zum einen die Existenz von Hexagonen, zum anderen das Auftreten einer transkritischen Bifurkation. Beides sind experimentell bestätigte Eigenschaften der Rosensweig Instabilität. Zum anderen enthält die Amplitudengleichung für Ferrogele eine zweifache Zeitableitung. Die linearisierte Amplitudengleichung nimmt im Fall der Ferrogele die Gestalt eines gedämpften harmonischen Oszillators an. Im Fall der Rosensweig Instabilität in Ferroflüssigkeiten, deren zugehörige Amplitudengleichung ebenfalls bestimmt wird, tritt diese zweifache Zeitableitung nicht auf. Die Rosensweig Instabilität ist im Rahmen unserer Näherungen rein oberflächengetriebenen. Das motiviert die Frage, inwieweit dünne magnetische Filme oder Membranen instabil werden können. Diese Frage wird in dieser Arbeit ebenfalls diskutiert. Beschränkt man sich in einer linearen Stabilitätsanalyse auf den symmetrischen Fall, das heißt der isotrope Ferrogelfilm ist auf beiden Seiten vom gleichen Medium umgeben, so findet man, dass der Film linear nicht instabil werden kann. Eine Instabilität zeigt sich nur im Fall von anisotropen magnetischen Gelen oder im Fall eines magnetischen Kontrastes zwischen den beiden umgebenden Medien.

Abstract in weiterer Sprache

In this thesis the nonlinear properties of the Rosensweig instability in isotropic magnetic gels are studied. The phenomenon describes the transition between an initially flat surface of a magnetic fluid and a deformed surface of hexagonally ordered surface spikes, as soon as a homogeneous magnetic field applied perpendicular to the flat surface exceeds a certain critical value. Magnetic gels combine the superparamagnetic behavior of magnetic fluids with the elastic properties of elastomers. The critical magnetic field in magnetic gels, however, increases with increasing shear modulus. The characteristic wave number instead remains unchanged compared to usual ferrofluids. The Rosensweig instability differs from other instabilities by its static nature. A motionless flat surface becomes unstable and deforms until another motionless but deformed state is fully developed. This static property motivated a time independent treatment in previous discussions. But as it is discussed in this thesis, the static nature should be interpreted as the limiting process of surface waves whose frequency tends to zero rather than as a time independent process from the beginning. Adopting the energy method given by Gailitis, we found that the stripe pattern is never stable with respect to either squares or hexagons. At the linear onset, the hexagonal configuration of surface spikes turns out to be the energetically favored pattern and upon further increase of the magnetic field, the square pattern becomes stable. The energy method, however, has severe problems and therefore one would like to have a more fundamental nonlinear description based on the hydrodynamic equations. When expanding the fundamental hydrodynamic equations in terms of a small parameter epsilon, the nonlinearities give rise to inhomogeneities in the second and higher order equations. To systematically guarantee the solvability of these equations using Fredholms theorem, the adjoint linear eigenvectors are needed. For systems involving a deformable surface in general and for the Rosensweig instability in particular, the set of adjoint linear equations with their corresponding boundary conditions were not known and are derived in this thesis for the first time. Two assumptions turned out to be crucial. First, one has to treat the system dynamically and the static limit should only be used at the very end, and second, one has to start with the hydrodynamic set of equations describing a compressible medium. The incompressibility assumption can then be used once the system of equations is adjoint. The formalism is also applied to the Marangoni instability, where temperature fluctuations at the free surface of a fluid cause fluctuations of the surface tension that in turn deform the surface and drive convection. With the adjoint linear system for the Rosensweig instability at hand, the solvability conditions in the second and in the third perturbative order in terms of epsilon can be fulfilled and one finally obtains the amplitude equation for the Rosensweig instability. Within the scope of our assumptions the hydrodynamic and the magnetic bulk equations decouple. Besides the bulk equations the Rosensweig instability crucially depends on the boundary conditions and in particular on the normal stress boundary condition. It is shown in the analysis that the normal stress boundary condition cannot be fulfilled trivially in the higher perturbative orders, but rather acts as a supplement to Fredholms theorem. We succeeded for the first time in deriving the quadratic coefficient in the amplitude equation from the fundamental hydrodynamic equations, which implies that hexagons are the stable configuration of surface spikes at the linear threshold and that the bifurcation from the flat surface to the surface spikes is transcritical. Both results are experimentally verified properties of the Rosensweig instability. Additionally we derived a second order time derivative in the case of magnetic gels. The linearized amplitude equation therefore acquires the form of a damped harmonic oscillator. In the case of the Rosensweig instability in ferrofluids, whose amplitude equation can be derived as a special case, this second order time derivative is not present. The Rosensweig instability is a purely surface driven instability within the scope of our assumptions. What happens, if the superparamagnetic medium is just a surface, namely a thin film or a membrane. This question is discussed assuming a membrane, either made of an isotropic or an anisotropic magnetic gel, floating on a Newtonian liquid or on a ferrofluid. In the first case, the film does not become unstable, if we assume an isotropic magnetic gel. This changes if we assume an anisotropic magnetic gel. In this case the film becomes unstable with respect to periodical disturbances if the frozen-in magnetization is oriented opposite to the applied magnetic field.