The evolutionary steps from nonlinear to turbulent waves on gravity-driven films over topography

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Dauth, Markus:
The evolutionary steps from nonlinear to turbulent waves on gravity-driven films over topography.
Bayreuth , 2019 . - 102 S.
( Dissertation, 2019 , Universität Bayreuth, Fakultät für Ingenieurwissenschaften)
DOI: https://doi.org/10.15495/EPub_UBT_00004468

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Abstract

A gravity-driven viscous film flow over an inclination is a fundamental problem in the field of fluid mechanics. It serves as a model to understand the physics behind a wide range of environmental and technical processes, which silently influence everyday life. For an idealized setup, which presumes that the viscous fluid flows over an inclined or vertical substrate of infinite extent which is perfectly flat, hydrodynamic effects have been studied extensively and are well-understood. In particular, the Navier-Stokes equations can be solved analytically. The well-known Nusselt solution with its quadratic velocity profile is at hand under these idealized constraints.

Going beyond the idealized world reveals many fascinating effects, which are also essential for practical applications. The price to be paid, however, is a sharp increase in complexity. A prominent role plays, for example, the roughness of the underlying substrate. This roughness is either induced by accuracy limitations in preparation or intentionally. The influence of the substrate's undulations on the flow characteristics is tremendous and the interplay between the undulations and the flow gives rise to new phenomena, e.g., resonant standing waves and eddies. In general the flow over such inclined topographies cannot be calculated analytically in closed form from the Navier-Stokes equations. Since already small impurities on the substrate have a serious effect on the film flow and a predictable flow is required for various technical applications, e.g., curtain coating, falling film reactors, and heat exchangers, the understanding of the physical phenomena is vital. Also, most systems in the environment and technical applications have a finite extent and are bounded by, e.g., side walls which prohibit the assumption of a two-dimensional flow.

In the respected film flows the interface between the fluid and the surrounding gas is considered as a shear free, deformable boundary. Hence, waves can emerge spontaneously at the free surface if a critical volume flux is exceeded. The waves appear as the flow reacts to disturbances, like ambient noise or external forcing. On their way downstream these waves can decrease or increase their amplitude depending on the flow parameters, the underlying substrate, and the wave parameters. Similar to the substrate's undulation, the waves at the free surface drastically impact the application of film flow systems in technical facilities. Therefore, extensive experimental and computational research is inevitable to understand the flow mechanisms.

This dissertation deals with the influence of inertia and various substrate shapes on the evolution of linear, nonlinear, and turbulent free surface waves on a gravity-driven viscous film flow. The aim of this study is to follow all evolutionary steps of waves from the linear over the nonlinear to a turbulent regime and to assign accompanying phenomena to interactions of the waves and the flow. Combining the results of a wide range of experiments made it possible to reveal novel flow phenomena. In particular, the shape of the traveling free surface wave, the mechanism of wave breaking, the transition of regular wave fronts to irregular wave fronts, and the transition to a comprehensive turbulent flow will be discussed in detail and assigned to the interaction of the traveling free surface waves with the underlying steady flow.

In the first step, linear and nonlinear waves were analyzed in detail. To do so, different geometrical shapes and excitation frequencies and amplitudes were considered in the experiments. Although sinusoidal waves were impressed in the experiments, two distinct wave shapes were found, namely convex and concave. By analyzing these wave shapes, an energy transfer from the excitation frequency to higher harmonics was inspected. The importance of the influence of the interaction between the waves and the substrate can be shown by the emergence of beat frequencies in the Fourier spectrum for undulated substrates. Additionally, particle tracking measurements of the steady state and the perturbed state unveiled major differences in the magnitude of the interaction between the traveling wave and the steady flow depending on the substrate's shape. The exact shape of the substrate is not determining the wave's shape but the shape of the steady state free surface is decisive for the evolution of the traveling free surface wave. The shape of the steady state free surface is a reaction of the flow to the underlying boundaries. Thereby, e.g., eddies have a strong impact on the flow and cause an effective substrate shape leading to the shape of the free surface.

Convectively unstable nonlinear waves are in the focus of the next study, which uncovered a completely new phenomena on gravity-driven thin film flows, namely, the wave breaking. Wave breaking in different flow configurations, e.g., at a beach, is well-known textbook knowledge. However, the physical effects provoking the wave breaking at the beach are not present in the system considered in this work. Up to now, neither experimental nor theoretical work has shown this novel phenomena for film flows and hence, there is no explanation of the physical mechanism behind it. The evolutionary behavior of nonlinear waves can be categorized in three different domains: saturation, single wave breaking, and multiple wave breaking. In the experiments, a wave frequency selection for the wave breaking was found to differ for the substrates. Along the event of wave breaking, air is encapsulated underneath the flow over the whole channel width via plunging of the wave into a trough of the steady state free surface. Due to an energetically favorable state the air encapsulation contracts to an orderly bubble. As the decisive parameter for the wave breaking mechanism the global or mean curvature of the steady state free surface was identified, due to the fact that wave breaking needs obstacles with protruding, prominent, and sufficiently high peaks. These obstacles provoke corresponding peaks on the steady state free surface which act as stumbling stones for the waves.

The subsequent study on nonlinear waves went one step further to unveil the phenomenon of the transition of regular wave fronts to irregular wave fronts. Thereby, a subdivision of the wave into a chaotic wave front and regular wave tail was found. This means that a coexistence of a regular and turbulent regime can be achieved on film flows by varying the inertia in the system. Based on the finding of the irregular wave front, an extensive study on the transition was performed. That way, the necessity of wave breaking as a precursor is revealed and a transition to turbulence in line with the Landau theory for the transition to turbulence is at hand. In this theory the state of turbulence is reached via multiple bifurcations which repeat themselves ``indefinitely''. The wave breaking acts as the bifurcation and new stable and unstable waves emerge from the collapse. Since wave breaking needs protruding, prominent, sufficiently high peaks as obstacles, this transition of regular to irregular wave fronts was found on strongly undulated, anharmonic, rectangular substrates.

The necessity of strongly undulated anharmonic substrates for the transition of regular to irregular wave fronts leads to the question: Can harmonic undulated substrates also show this kind of turbulence? This question was challenged with new measurements concerning a flow over a sinusoidal substrate. Within the framework of this dissertation the transition of regular to irregular wave fronts on a sinusoidal topography was not observed. Nevertheless, a transition to turbulence of the whole flow was recorded. In the experiments the transition to turbulence was observed for a sufficiently high inertia and irrespective of an external excitation.

Abstract in weiterer Sprache

Eine schwerkraftgetriebene Strömung eines viskosen Flüssigkeitsfilmes über eine Schräge ist ein grundlegendes Problem im Bereich der Strömungsmechanik. Es dient als Modell, um die Physik hinter einer Vielzahl von Prozessen in der Umwelt und Technik zu verstehen, die den Alltag im Verborgenen beeinflussen. Für ein idealisiertes System, das davon ausgeht, dass die viskose Flüssigkeit über ein geneigtes oder vertikales, perfekt flaches Substrat von unendlichem Ausmaß fließt, wurden hydrodynamische Effekte umfassend untersucht und gut verstanden. Insbesondere können die Navier-Stokes-Gleichungen analytisch gelöst werden. Unter diesen idealisierten Randbedingungen findet man die bekannte Nusselt-Lösung mit ihrem quadratischen Geschwindigkeitsprofil.

Der Blick über die idealisierte Welt hinaus offenbart viele faszinierende Effekte, die auch für die praktische Anwendung unerlässlich sind. Der zu zahlende Preis ist jedoch eine stark gestiegene Komplexität. Dabei spielt beispielsweise die Rauigkeit des darunter liegenden Substrates eine markante Rolle, welche entweder durch Genauigkeitseinschränkungen in der Herstellung oder absichtlich verursacht wird. Der Einfluss der Welligkeit des Substrats auf die Strömungseigenschaften ist enorm und das Zusammenspiel zwischen der Undulation und der Strömung führt zu neuen Phänomenen, z.B. resonanten stehenden Oberflächenwellen und Wirbelbildung in den Mulden. Im Allgemeinen kann die Strömung über solche geneigten Topographien nicht in geschlossener Form analytisch aus den Navier-Stokes-Gleichungen berechnet werden. Da bereits kleine Verunreinigungen auf dem Substrat den Filmfluss erheblich beeinflussen und für verschiedene technische Anwendungen, wie z.B. Vorhangbeschichtung, Fallfilmreaktoren und Wärmetauscher, ein vorhersehbarer Fluss erforderlich ist, ist das Verständnis der physikalischen Phänomene von entscheidender Bedeutung. Darüber hinaus haben die meisten Systeme in der Umwelt und in technischen Anwendungen eine begrenzte Ausdehnung und sind z.B. durch Seitenwände begrenzt, die die Annahme einer zweidimensionalen Strömung ausschließen.

In den betreffenden Filmströmungen wird die Grenzfläche zwischen dem Fluid und dem umgebenden Gas als scherfreie, verformbare Grenze betrachtet. Somit können bei Überschreitung eines kritischen Volumenstroms an der freien Oberfläche spontan Wellen entstehen. Die Wellen erscheinen, wenn die Strömung auf Störungen, wie das allgegenwärtige Umgebungsrauschen oder äußeren Zwang, reagiert. Auf dem Weg stromabwärts können diese Wellen in Abhängigkeit von den Strömungsparametern, dem darunter liegenden Substrat und den Wellenparametern schrumpfen oder wachsen. ähnlich wie die Undulation des Substrats beeinflussen die Wellen an der freien Oberfläche den Einsatz von Filmflusssystemen in technischen Anlagen drastisch. Daher ist eine umfangreiche experimentelle und rechnergestützte Forschung unumgänglich, um die Strömungsmechanismen zu verstehen.

Diese Dissertation beschäftigt sich mit dem Einfluss von Trägheit und verschiedenen Substratformen auf die Entwicklung von linearen, nichtlinearen und turbulenten freien Oberflächenwellen auf einer gravitationsgetriebenen, viskosen Filmströmung. Ziel dieser Studie war es, alle evolutionären Schritte von Wellen, vom linearen über das nichtlineare bis hin zu einem turbulenten Regime zu verfolgen und begleitende Phänomene den Wechselwirkungen der Wellen und der Strömung zuzuordnen. Die Kombination der Ergebnisse verschiedenster Experimente ermöglichte es, neuartige Strömungsphänomene zu entdecken. Insbesondere die Form der laufenden freien Oberflächenwelle, der Mechanismus des Wellenbrechens, der Übergang von regelmäßigen Wellenfronten zu turbulenten Wellenfronten und der Übergang zu einer flächendeckenden turbulenten Strömung werden im Detail diskutiert und der Wechselwirkung der laufenden freien Oberflächenwellen mit der zugrunde liegenden stationären Strömung zugeordnet.

Im ersten Schritt wurden lineare und nichtlineare Wellen im Detail analysiert. Dazu wurden in den verschiedenen Experimenten unterschiedliche geometrische Formen und Anregungsfrequenzen und -amplituden berücksichtigt. Obwohl in den Experimenten sinusförmige Wellen aufgeprägt wurden, wurden zwei unterschiedlich ausgeprägte Wellenformen gefunden, nämlich konvex und konkav. Bei der Analyse dieser Wellenformen wurde ein Energietransfer von der Anregungsfrequenz zu höheren Oberwellen untersucht. Die Bedeutung des Einflusses der Wechselwirkung zwischen den Wellen und dem Substrat kann durch die Entstehung von Schwebungsfrequenzen im Fourier-Spektrum für undulierte Substrate gezeigt werden. Darüber hinaus zeigten particle-tracing-Messungen des stationären und des gestörten Zustands große Unterschiede in der Größe der Wechselwirkung zwischen den laufenden Wellen und der stationären Strömung in Abhängigkeit von der Form des Substrats. Die genaue Form des Substrats bestimmt nicht direkt die Wellenform. Entscheidend für die Entwicklung der laufenden freien Oberflächenwelle ist die Form der stationären freien Oberfläche. Die Form der stationären freien Oberfläche ist eine Reaktion der Strömung auf die darunter liegenden Begrenzungen. Dadurch haben z.B. Wirbel einen starken Einfluss auf die Strömung und bewirken eine effektive Substratform, die zur Form der freien Oberfläche führt.

Konvektiv instabile nichtlineare Wellen stehen im Fokus der nächsten Studie, die ein völlig neues Phänomen bei schwerkraftgetriebenen Dünnschicht Filmströmungen aufdeckte: Das Wellenbrechen. Das Brechen von Wellen in sich unterscheidenden Strömungskonfigurationen, z.B. an einem Strand, ist bekanntes Lehrbuchwissen. Allerdings sind die physikalischen Effekte, die das Wellenbrechen am Strand verursachen, in dem in dieser Arbeit betrachteten System nicht vorhanden. Bisher haben weder experimentelle noch theoretische Arbeiten dieses neuartige Phänomen für Filmströmungen gezeigt, so dass es keine Erklärung für den physikalischen Mechanismus dahinter gibt. Das evolutionäre Verhalten nichtlinearer Wellen kann in drei verschiedene Kategorien unterteilt werden: Sättigung, einfache und mehrfache Wellenbrechung. In den Experimenten wurde festgestellt, dass sich eine Frequenzauswahl bei dem Wellenbrechen für die Substrate unterscheidet. Durch das Eintauchen der Welle in eine Mulde der stationären freien Oberfläche, wird während des Wellenbrechens Luft unter der Strömung über die gesamte Kanalbreite eingefangen. Um in einen energetisch günstigeren Zustand zu kommen, zieht sich der Lufteinschluss zu einer geordneten Blase zusammen. Als entscheidender Parameter für den Wellenbrechmechanismus wurde die globale oder mittlere Krümmung der stationären freien Oberfläche identifiziert. Für die Wellenbrechung werden Hindernisse mit vorstehenden, markanten und ausreichend hohen Spitzen benötigt. Diese Hindernisse provozieren entsprechende Spitzen auf der stationären freien Oberfläche, die als Stolpersteine für die Wellen dienen.

Die anschließende Studie zu nichtlinearen Wellen ging noch einen Schritt weiter, um das Phänomen des Übergangs von regelmäßigen Wellenfronten zu unregelmäßigen Wellenfronten zu enthüllen. Dabei wurde eine Unterteilung der Welle in eine chaotische Wellenfront und in einen regelmäßigen Wellenschwanz gefunden. Das bedeutet, dass eine Koexistenz von einem regelmäßigen und turbulenten Regime auf einem Filmfluss erzeugt werden kann. Basierend auf dem Befund der unregelmäßigen Wellenfront wurde eine umfangreiche Studie zu dem Übergang durchgeführt. Auf diese Weise wurde die Notwendigkeit des Wellenbrechens als Wegbereiter aufgezeigt und ein Übergang zur Turbulenz im Sinne der Landau Theorie für den Übergang zur Turbulenz liegt vor. In dieser Theorie wird der Zustand der Turbulenz durch mehrere Bifurkationen erreicht, die sich ``unbegrenzt'' wiederholen. Das Wellenbrechen wirkt wie die Verzweigung und neue sowohl stabile als auch instabile Wellen entstehen aus dem Zusammenbruch. Da das Wellenbrechen markante und ausreichend hohe Spitzen als Hindernisse benötigt, wurde dieser Übergang von regelmäßigen zu unregelmäßigen Wellenfronten auf stark gewellten, anharmonischen rechteckigen Substraten gefunden.

Die Notwendigkeit von stark gewellten anharmonischen Substraten für den Übergang von regelmäßigen zu unregelmäßigen Wellenfronten wirft folgende Frage auf: Können harmonisch gewellte Substrate auch diese Art von Turbulenzen aufweisen? Dies wurde mit neuen Messungen an einer Strömung über ein sinusförmiges Substrat hinterfragt. Im Rahmen dieser Dissertation wurde der Übergang von regelmäßigen zu unregelmäßigen Wellenfronten auf einer sinusförmigen Topographie nicht beobachtet. Dennoch wurde ein Übergang zur Turbulenz der gesamten Strömung festgestellt. In den Experimenten wurde der Übergang zur Turbulenz für eine ausreichend hohe Trägheit und unabhängig von einer äußeren Anregung beobachtet.