Modellierung, Analyse und Optimale Steuerung von gefährlichen Krankheiten

Titelangaben

Folger, Gaby B.:
Modellierung, Analyse und Optimale Steuerung von gefährlichen Krankheiten.
Bayreuth , 2021 . - VIII, 145 S.
( Dissertation, 2021 , Universität Bayreuth, Bayreuther Graduiertenschule für Mathematik und Naturwissenschaften - BayNAT)
DOI: https://doi.org/10.15495/EPub_UBT_00005320

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Abstract

Durch die globale Erwärmung, die Globalisierung und den zunehmenden Tourismus kommt es zu einer Verschiebung der Verbreitungsgebiete der Dengue-Fieber übertragenden Aedes-Stechmücke von den Tropen in nördlichere Breite. Vor diesem Hintergrund untersucht diese Arbeit die potenzielle Verbreitung und Gleichgewichtszustände von Dengue Fieber Infektionen im süddeutschen Raum
unter Verwendung der bekannten SIR Kompartimentmodelle.
Das SIR Modell wird hierbei um die Kompartimente der Moskitos ergänzt und anhand diesem 1 Serotyp Modell einige Grundlagen über eine vektoriell übertragene
Krankheit hergeleitet. Während in [6], einem Beitrag in einem Tagungsband, ein 1 Serotypen Modell inklusive der Steuerung durch Impfung untersucht wurde, setzt diese Arbeit ihr Augenmerk auf das analytische Verhalten des Grundsystems ohne Kontrollmaßnahmen und beweist globale Stabilitäten mittels Lyapunov Funktionen im Bereich der Mückenpopultation und des endemischen Gleichgewichtspunktes. Dadurch können erste Erkenntnisse über das Verhalten eines Dengue Fieber Modells generiert und eine sinnvolle Modellreduktion vorgenommen
werden.
Als zweiter Schritt wird das Modell um einen zweiten Serotyp erweitert und detailliert behandelt. Dabei wird auf der parallel entstandenen Masterarbeit [51]
aufgebaut und speziell die, in der Masterarbeit nicht berücksichtigte, Asymmetrie der serotypspezifischen Übertragungsraten in den Fokus gerückt. Ein großer Erfolg
bei der analytischen Untersuchung ist die explizite Darstellung des endemischen Gleichgewichtspunktes und die lokalen Stabilitätsbedingungen aller Gleichgewichtspunkte. Bei der numerischen Darstellung werden die Systemverläufe, die Auswirkungen der asymmetrischen Infektionsraten und deren Phasenportraits
diskutiert.
In einem dritten Schritt werden verschiedene Modellverfeinerungen des 2 Serotypen Modelles analytisch als auch numerisch untersucht und deren Auswirkungen
gegenübergestellt. Wichtige Ergebnisse sind besonders im Langzeitverhalten des Systems zu verzeichnen, welche anhand von Phasenportraits visualisiert sind.
Mögliche Kontrollen, sowohl in der Form von konstanten Parametern, als auch mittels optimaler Steuerung, haben einen erheblichen Einfluss auf das System und werden daher stets mit betrachtet.
In einem weiteren Schritt wird das Dengue Fieber Modell auf vier Serotypen mit asymmetrischen Infektionsraten erweitert und das Systemverhalten numerisch untersucht.
Dies wurde bisher in keiner, dem Autor bekannten, Arbeit analysiert und konnte erkenntnisreiche Resultate erzielen. So zeigt sich, dass Schwankungsbreiten
in den Infektionsraten die Existenz der endemischen polyserotypischen Gleichgewichtspunkte
beeinflussen. Trotz der Komplexität des Systems und basierend auf den Erkenntnissen der vorangegangenen Untersuchungen des 2 Serotypen Modelles, wird das 4 Serotypen Modell zusätzlich um die Kreuzimmunität erweitert und numerische Ergebnisse verglichen.
Zuletzt werden temperaturabhängige Stech- und Übertragungsraten in ein detailliertes 2 Serotypen Modell einbezogen. Hierfür werden Wetterdaten der letzten fünf Jahre aus Bamberg mit dem bekannten Verhalten der Mosquitos kombiniert und in das Modell integriert. Da viele Parameter nur schwierig zu bestimmen und überdies schwankungsbehaftet sind, unterliegen alle Untersuchungen gewissen Parameterannahmen. Um ein besseres Verständnis für das Dengue Fieber Modell und das Auftreten der Krankheit zu erlangen, wird ein zweites Szenario mit
einem alternativen Parameterverhalten untersucht. In beiden Szenarien werden zusätzlich konstante Kontrollen berücksichtigt und die numerischen Ergebnisse
gegenübergestellt. Neben den konstanten Kontrollen wird außerdem eine optimale Steuerung auf das temperaturabhängige Modell angewendet und die Unterschiede im Verhalten des Systems, abhängig von dem gewählten Szenario betrachtet.
Mit diesem letzten Schritt, der Untersuchung temperaturabhängiger Infektionsraten mit Bezug auf die Wetterdaten aus der Region und der Kombination aller
bisherigen modellrelevanten Kompartimenterweiterungen, kann somit eine relevante Aussage über die Verbreitung einer vektoriell übertragenen Krankheit, hier das Dengue Fieber, im süddeutschen Raum getroffen werden.

Abstract in weiterer Sprache

Due to global warming, globalization and increasing tourism, the distribution areas of the dengue fever-transmitting Aedes mosquito are shifting from the tropics
to more northerly latitudes. Against this background, this work investigates the potential distribution and equilibrium states of dengue fever infections in southern
Germany using the well-known SIR compartment models.
The SIR model is supplemented by the compartments of the mosquitoes and with the help of this 1 serotype model some basics about a vectorially transmitted disease are derived. While in [6], a paper in a conference
proceedings, a 1 serotype model including control by vaccination was investigated, this work focuses on the
analytical behaviour of the basic system without control measures and proves global stability by means of Lyapunov functions in the area of mosquito population and endemic equilibrium point. Thus, first insights into the behaviour of a dengue fever model can be generated and a meaningful model reduction can be performed.
As a second step, a second serotype is added to the model and treated in detail. This will be based on the master thesis [51], which was written in parallel, and will focus on the asymmetry of the serotype-specific transmission rates, which was not considered in the master thesis. A great success in the analytical investigation is the explicit presentation of the endemic equilibrium point and the local stability conditions of all equilibrium points. In the numerical representation, the course of the system, the effects of asymmetric infection rates and their phase portraits are discussed.
In a third step, different model refinements of the 2 serotype model are investigated analytically as well as numerically and their effects are compared. Important
results are particularly evident in the long-term behaviour of the system, which are visualised by means of phase portraits. Possible controls, both in the form
of constant parameters and by means of optimal control, have a considerable influence on the system and are therefore always included.
In a further step, the dengue fever model will be extended to four serotypes with asymmetric infection rates and the system behaviour will be investigated
numerically. This has never been analysed in any work known to the author and has produced insightful results. Thus, it is shown that fluctuation ranges in infection rates influence the existence of endemic polyserotypic equilibrium points. Despite the complexity of the system and based on the findings of the previous investigations of the 2 serotype model, the 4 serotype model is additionally extended by cross-immunity and numerical results were compared.
Finally, temperature dependent stinging and transmission rates are included in a detailed 2 serotype model. For this purpose, weather data of the last five years
from Bamberg are combined with the known behaviour of the mosquitoes and integrated into the model. Since many parameters are difficult to determine and are subject to fluctuations, all investigations are based on certain parameter assumptions. In order to gain a better understanding of the dengue fever model and the occurrence of the disease, a second scenario with an alternative parameter behaviour is investigated. In both scenarios constant controls are additionally
considered and the numerical results are compared. In addition to the constant controls, an optimal control is applied to the temperature dependent model and the
differences in system behaviour depending on the chosen scenario are considered. With this last step, the investigation of temperature-dependent infection rates
with reference to regional weather data and the combination of all previous modelrelevant
compartment expansions, a relevant statement about the spread of a vectorially transmitted disease, in this case dengue fever, in southern Germany can be derived.