Statische Reduktion von FE-Strukturen nach Guyan – Effizienzsteigerung durch den Schur-Komplement-Ansatz

Titelangaben

Hüter, Florian ; Wittmann, Johannes:
Statische Reduktion von FE-Strukturen nach Guyan – Effizienzsteigerung durch den Schur-Komplement-Ansatz.
2024
Veranstaltung: 25. Bayreuther 3D-Konstrukteurstag , 11.09.2024 , Bayreuth.
(Veranstaltungsbeitrag: Kongress/Konferenz/Symposium/Tagung , Vortrag )
DOI: https://doi.org/10.15495/EPub_UBT_00007899

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Abstract

Der effiziente Einsatz von Simulationswerkzeugen im Produktentwicklungsprozess und damit die Einsparung von Werkstoffen, Fertigungs- und Entwicklungszeit gewinnen zunehmend an Bedeutung. Mehrkörpersimulationen (MKS) ermöglichen die Vorhersage des Verformungsverhaltens komplexer Baugruppen. Dabei werden die einzelnen FE-Komponenten der Baugruppe auf die Anschlussstellen (Master-Freiheitsgrade) zu den angrenzenden Komponenten reduziert, indem die übrigen Freiheitsgrade (Slave-Freiheitsgrade) aus dem FE-Gleichungssystem eliminiert werden, um so den Berechnungsaufwand für das Lösen des Gesamtsystems möglichst gering zu halten. Insbesondere bei der Betrachtung mehrerer Betriebspunkte kann so eine recheneffiziente Mehrfachlösung
des Gesamtsystems erreicht werden
Ein etablierter Ansatz zur Modellreduktion ist das statische Reduktionsverfahren nach Guyan. Auch wenn das Verfahren mathematisch eindeutig ist, so lassen sich für seine programmiertechnische Umsetzung verschiedene Algorithmen definieren, die sich im Hinblick auf die Zwischenschritte und ihre Effizienz (Rechenzeit, Arbeitsspeicher) unterscheiden. Im Rahmen dieses Beitrags werden zwei unterschiedliche Algorithmen vorgestellt und miteinander verglichen.
Algorithmus 1 basiert im ersten Schritt auf der Bildung einer Transformationsmatrix, durch deren Multiplikation mit dem FE-Gleichungssystem im zweiten Schritt die statische Reduktion auf die Master-Freiheitsgrade erfolgt. Die Transformationsmatrix entspricht dabei der Recovery-Matrix,
die zur Berechnung der Verschiebungen an den Slave-Freiheitsgraden benötigt wird. Nachteilig ist jedoch, dass die Recovery-Matrix im Gegensatz zur Steifigkeitsmatrix nicht dünn, sondern voll besetzt ist, so dass der Rechen- und Speicheraufwand mit steigender Anzahl der Master-Freiheitsgrade deutlich zunimmt und der Algorithmus bei FE-Strukturen mit vielen Freiheitsgraden häufig nicht mehr anwendbar ist.
Dagegen basiert Algorithmus 2 auf der Bildung des Schur-Komplements der Steifigkeitsmatrix durch LR-Zerlegung, wobei das Schur-Komplement genau der reduzierten Steifigkeitsmatrix entspricht. Auf diese Weise wird der explizite Aufbau der Recovery-Matrix umgangen und somit Rechenzeit und Arbeitsspeicher eingespart, weshalb sich Algorithmus 2 insbesondere für die Reduktion großer FE-Strukturen eignet. Durch die fehlende Recovery-Matrix ist jedoch die Berechnung der Verschiebung an den Slave-Freiheitsgraden nur durch Lösung des FE-Gleichungssystems möglich, was jedoch nur einen geringen Mehraufwand bedeutet, wenn die Dreiecksmatrizen aus der LR-Zerlegung zwischengespeichert werden.
Anhand eines Berechnungsbeispiels mit Z88 zeigt dieser Beitrag die höhere Rechen- und Speichereffizienz von Algorithmus 2.